Шпоры по матану [1 семестр] / 24 - экстремумы ф-й призн

§5 §7.2. Экстремум функции.

 Пусть функция f(x) задана на /a,b\

Определение 1. Говорят, что во внутренней точке области определения функции x0 функция имеет максимум (минимум), если существует U(x0): f(x)<=f(x0)  (f(x)>=f(x0)) для любых x из U(x0). Этот максимум (минимум) называют строгим (собственным), если неравенства строгие.

Замечание. Точки экстремума по определению рассматриваются лишь во внутренних точках. В литературе говорят иногда и о краевых экстремумах.

Необходимый признак экстремума

Теорема.

Если функция имеет экстремум в точке x0, то f ’(x0) либо не существует, либо она равна нулю.

Доказательство:

< Если в точке x0 максимум, то по теореме Ферма, если существует f ’(x0) в точке x0, то она равна нулю. Итак, согласно теореме, точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где f ’(x) = 0 или не существует. Такие точки называется подозрительными на экстремум. Точки, в которых f ‘(x) = 0 еще называют стационарными. Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум. 

---- графики ----

> 

2. Достаточные признаки экстремума.

Теорема 1(первый достаточный признак)

Пусть x0-внутренняя точка области определения функции и f(x) непрерывна в точке x0, тогда:

а) если при переходе через точку x0 производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x0 максимум.

б) если при переходе через точку x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то в точке x0 минимум.

в) если при переходе через точку x0 производная знак не меняет, то в этой точке экстремума нет, т.е. функция в этой же точке монотонна.

Замечание. Требование непрерывности опускать нельзя.

Теорема 2 (второй достаточный признак экстремума)

Если точка x0- внутренняя точка области определения функции и f ‘(x0) = 0, тогда, если f”(x0)>0, то в точке x0 строгий минимум, и если f”(x0)<0, то в точке x0 строгий максимум.

Доказательство:

< Пусть f”(x)>0. Т.к. f”(x) = (f ’(x))’, то f ‘(x)- строго возрастает в точке x0, и т.к. f ’(x) = 0, то при переходе через точку x0 она меняет знак с минуса на плюс и согласно первому достаточному признаку в этой точке минимум.