Шпоры по матану [1 семестр] / 26 - нах-е вогнутости

§5 §7.4. Направление вогнутости и точки перегиба графика функции.

Рассмотрим функцию y = f(x), для которой x0- внутренняя точка области определения функции, причем существует f ’(x0) (эти предположения будем считать выполненными везде в данном параграфе). Тогда существует касательная в точке  M0(x0,f(x0)) и уравнение касательной имеет вид:

Y(x) = f(x0)+f ‘(x0)(x-x0) 

 ---График 1 ----

Определение 1. Если существует U(x0) такая, что точки графика при x принадлеж. U(x0) лежат в верхней (нижней) полуплоскости, то говорят, что в точке M0 график направлен  вогнутостью вверх (вниз). Если же с одной стороны от x0 точки графика лежат в верхней полуплоскости, а с другой стороны лежат в нижней полуплоскости, то график имеет перегиб. 

----График 2-----

Введем вспомогательную функцию:

r(x) = : f(x)-Y(x) = f(x) – f(x0)-f ‘(x0)*(x-x0)

Определение2. График функции направлен в точке M0 вогнутостью вверх, если функция r(x) имеет в точке x0 минимум; график функции направлен в точке M0 вогнутостью вниз, если функция r(x) имеет в точке x0 максимум; и в точке M0 перегиб графика, если r(x) монотонна.

-----График 3-----

2) Теорема 1 (первый достаточный признак направления вогнутости).

Пусть функция f ‘(x) строго возрастает в точке x0. Тогда в точке  M0(x0,f(x0))  функция направлена вогнутостью строго вверх. Если же функция f ‘(x) в точке x0 строго убывает, то в точке M0(x0,f(x0))  график направлен вогнутостью вниз.

Теорема 2 (второй достаточный признак направления вогнутости).

Если f “(x0)>0, то в точке M0(x0,f(x0))  график направлен вогнутостью вверх, если же f “(x0)<0, то в точке M0(x0,f(x0))  график направлен вогнутостью вниз.

Теорема 3 (необходимый признак точки перегиба).

Если в точке M0(x0,f(x0))  перегиб графика функции y = f(x), то  f “(x0) либо равна нулю, либо не существует.

Доказательство:

<Возможны два случая: либо f “(x0) не существует, либо  f ”(x0) существует. Если f “(x0) существует, то f “(x0) != 0 невозможно, т.к. по теореме 2 график в точке x0 будет направлен либо вогнутостью вверх, либо вогнутостью вниз, а это противоречит тому, что в точке x0 перегиб.>

Теорема 4 (достаточный признак точки перегиба).

Если f ‘(x) непрерывна в точке x0; f “(x0) = 0 или не существует, то если при переходе через точку x0  f “(x) меняет знак, то в точке x0 перегиб графика функции y = f(x).

Пример: