Шпоры по матану [1 семестр] / дифф высших порядков

§5 §5.8. Дифференциалы высших порядков (в.п.).

1.Пусть функция f(x) имеет конечные производные всех требуемых порядков. Тогда dy = f ‘(x0)*dx  (1), где dx = Vx = const.

d(dy) = d(f’(x)dx) = dx(const!)*f”(x)dx = f”(x)*(dx)^2 .

Будем считать, что в каждом случае dx берётся одно и то же.

Итак, получаем

d^2 y = f ’(x)*(dx)^2

(второй дифф-л)

Взяв дифференциал n-ое количество раз, получаем n-ый дифференциал

d^n y  = f^(n) (x)*(dx)^n

Отсутствие инвариантности дифференциала высших порядков.

Рассмотрим функцию z = g(y), y = f(x). В силу инвариантности первого дифференциала дифференциал функции z по x можно вычислить как для случая, если бы y была окончательной переменной dz = g’(y)dy=g’(f(x))dy, где dy = f’(x)dx, т.е. dy-это функция от x.

(2) d^2(z) = d(g’(f(x))dy) = dg’(f(x))dy+g’(f(x))d^2 y = g”(f(x))*(dy)^2 + g’(f(x))d^2 y.

Если формулу (2) сравнить с формулой для второго дифференциала ( d^2 y = f”(x)(dx)^2 ), видим, что второе слагаемое является лишним, из-за чего d^2 z не совпадает с формулой для второго дифференциала, когда y была бы окончательной переменной. Таким образом, инвариантность для дифференциалов высших порядков отсутствует.