22. Схема Горнера и корни многочленов.

Если то при делении на частное имеет вид , где Остаток r находится по формуле Чаще всего при использовании схемы Горнера составляют таблицу:

Корнем многочлена называется такое число, которое при подстановке вместо x обращает уравнение в тождество.

23. Теорема Безу. Нод многочленов и алгоритм Евклида.

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена на двучлен , где a – число, равен . Алгоритм Евклида – способ нахождения НОД двух целых чисел или многочленов. Алгоритм состоит из последовательного деления с остатком сначала первого данного многочлена, f(x), на второй, g(x):

f(x) = g(x)∙q₁(x) + r₁(x)

затем, если r1(x) ≠ 0, – второго данного многочлена, g(x), на первый остаток – на многочлен r1(x):

g(x) = r₁(x)∙q₂(x) + r₂(x),

далее, если r2(x) ≠ 0, – первого остатка, r1(x), на второй остаток, r2(x):

r₁(x) = r₂(x)∙q₃(x) + r₃(x),

затем, если r3(x) ≠ 0, – второго остатка на третий:

r₂(x) = r₃(x)∙q₄(x) + r₄(x),

и так далее, пока очередной остаток не будет равен нулю. Тогда последний не равный нулю остаток и будет НОД исходной пары многочленов f(x) и g(x).

24. Комплексные числа и действия над ними.

Число вида , где x и y – действительные числа, i – мнимая единица ( ), называется комплексным числом. Число x называется действительной частью, а y – мнимой частью числа z. Два комплексных числа с одинаковыми действительными и противоположными мнимыми частями называются сопряженными. Сложение: . Вычитание: . Умножение: . Деление: .

25. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа.

Геометрически комплексные числа удобно изобразить точками плоскости или радиус-векторами точек, координатами которых являются действительные и мнимые части чисел. Оси 0x и 0y называют соответственно действительной и мнимой осями. Плоскость x0y называют комплексной плоскостью. На оси 0x лежат действительные числа (y=0), а на оси 0y – мнимые числа (x=0).

Можно изображать комплексные числа и в полярной системе координат, состоящей из точки O – начала координат (полюса), полярного луча и полярного угла. Совместим декартову и полярную системы координат. Обозначим полярный луч точки M как r, а полярный угол как φ. Полярный радиус r называется модулем комплексного числа и обозначается . Полярный угол называется аргументом комплексного числа и обозначается .

26. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.

Алгебраическая форма: , где x и y – действительные числа, i – мнимая единица числа z. Тригонометрическая форма: где r – модуль, а φ - аргумент комплексного числа.

27. Корни n-ой степени из комплексного числа.

Извлечение корня n-ой степени производится по формуле: Подставив вместо k значения 0,1,2 и так далее до n-1, получим n различных значений корня.

28. Линейные преобразования пространства . Линейные операторы.

Пусть даны два линейных пространства L ( ) и L’ ( ). Если задан закон (правило) φ, по которому каждому вектору x пространства L ставится в соответствие единственный вектор y пространства L’, то говорят, что задан оператор φ, действующий из L в L’, и записывают или . Вектор называется образом вектора x при действии оператора φ, а сам вектор x – прообразом вектора y. Если пространства L и L’ совпадают, то оператор φ отображает пространство L в себя и иначе называется преобразованием линейного пространства L. Оператор φ, действующий в линейном пространстве L, называется линейным, если для любых векторов x, y из L и любого числа выполняются равенства: 1) 2) . Примеры линейных операторов. Нуль-оператор θ ставит в соответствие каждому вектору нулевой вектор 0: . Тождественный (единичный) оператор ε ставит в соответствие каждому вектору этот же вектор: . Оператор подобия φ с коэффициентом подобия µ ставит в соответствие каждому вектору пропорциональный вектор µx: .