1. Сложение матриц и умножение матрицы на число.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λа, элементы которой равны . Складываются матрицы поэлементно. Разностью матриц А и В называется матрица С, равная А+(-В).

2. Умножение матриц. Невырожденные квадратные матрицы.

Умножение матриц А и В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц и является . Матрица С такая, что каждый ее элемент равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В. Произведение матриц неперестановочно: .

Если определитель матрицы равен нулю, то эта матрица называется вырожденной, если , то невырожденной.

3. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если при умножении этой матрицы на данную матрицу как справа, так и слева получается единичная матрица: . Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной, если , то невырожденной. Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1) найти определитель матрицы и убедиться, что он отличен от нуля; 2) каждый элемент матрицы заменить его алгебраическим дополнением, получив присоединенную матрицу; 3) транспонировать присоединенную матрицу; 4) .

4. Решение матричных уравнений вида , .

Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений: , где – неизвестная матрица, А, В и С – некоторые заданные матрицы, причем А и С имеют обратные матрицы. Решением этих уравнений являются соответственно матрицы .

5. Определители и их свойства.

Каждой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем (детерминантом) n-го порядка. Обозначения: . Основные свойства определителей: 1) определитель не меняется при транспонировании матрицы; 2) если одна из строк (столбцов) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю; 3) определитель, содержащий две одинаковые или пропорциональные строки (столбца), равен нулю; 4) при перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак; 5) общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя; 6) величина определителя не изменится, если к одной из строк (столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число; 7) если элементы какой-либо строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей.

6. Непосредственное вычисление определителей второго и третьего порядков.

.

7. Формула разложения определителя по строкам и столбцам. Теорема Лапласа.

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: . Эти равенства называют разложениями определителя по i-ой строке или по j-му столбцу соответственно. Они принимают особенно простой вид, если в строке или столбце все элементы равны нулю, кроме одного: .