18. Правило квантования круговых орбит.

В рамках формализма Бора в основу решения проблемы заложено общее выражение для полной энергии электрона в самом общем виде:

(1)

где в данном конкретном случае q - обобщённая координата точечного электрона на орбите, рассматриваемого как линейный осциллятор, p - его импульс, Т, U - соответственно его кинетическая и потенциальная энергии. В качестве второго моделирующего уравнения используется постулат для отбора квантовых орбит, который является обобщением постулата Планка и который использовался Бором в его базовой работе "О строении атомов и молекул". “Согласно этому последнему постулату из всех возможных состояний линейного осциллятора осуществляются только такие, энергия которых равна

(2)

Путём стандартных преобразований и замены

(3)

Шпольский приводит (1) к каноническому виду эллипса

(4)

и далее вычисляет площадь данной геометрической фигуры, получая в результате

(5)

Далее Шпольский переходит от обобщённых координат к координатам, описывающим орбитальное движение электрона, беря в качестве такой координаты полярный угол , характеризующий положение электрона на круговой орбите. При этом

(6)

откуда

(7)

Последняя величина является, таким образом, квантовой единицей момента количества движения.

19. Элементарная Боровская теория водородного атома.

Бор предположил, что из всех возможных орбит электрона осуществляются только те. для которых мо­мент импульса равен целому кратному постоянной План­ка h, деленной на 2л: m_evr = nh (п — 1, 2, 3, ...).(1) Число п называетсяглавным к в а н т о в ы м ч и с л о м.

Рассмотрим электрон, движущийся в поле атомного ядра с зарядом Ze. При Z = 1 такая система соответ­ствует атому водорода, при иных Z — водородоподоб­ному иону. Согласно второму закону Ньютона произведение массы электро­на т_е на его центростремительное ускорение v²/r дол­жно равняться кулоновской силе: т_е *( υ ²/r)= Ze^2/r^2 (2)

Исключая υ из (1) и (2), получаем, что радиус электронных орбит в атоме может принимать лишь ряд дискретных значений: rn=(h^2*n^2)/(me*Z*e^2) (n= 1, 2, 3, ...). (3)

Для первой орбиты водородного атома (Z = 1, п = 1) получается r1= h^2/(me*e^2)= 0,529 А, (4) т, е. величина порядка газокинетических размеров атома.Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (ядро неподвижно) и энергии взаи­модействия электрона с ядром (потенциальной энергии): E=(me*υ^2)/2 – (Z*e^2)/r

Из (2) следует, что (me*υ^2)/2 = (Z*e^2)/2r, Следовательно, E=(Z*e^2)/2r - (Z*e^2)/r = - (Z*e^2)/2r

Наконец, учтя значения г, даваемые (3), получим дозволенные значения внутренней энергии атома:

En= - [(me*e^4)/2h^2]*[Z^2/n^2] (n = 1, 2, 3, ...). (5)

При переходе атома водорода (Z = 1) из состояния п в состояние т испускает­ся квант

Hω=- [(me*e^4)/2h^2]*[1/n^2 – 1/ m^2]

Частота испущенного света равна

ω= [(me*e^4)/2h^3]*[1/m^2 – 1/ n^2]

Таким образом, мы пришли к обоб­щенной формуле Бальмера, при чем для постоянной Ридберга получает­ся значение:

R = (me*e^4)/2h^3 (6)

Если подставить в это выражение значения входящих в него констант, получается величина, хорошо согласующая с экспериментальным значением постоянной Ридберга.