- •2)Положительные ряды признаки сравнения.
- •10.Равномерная сходимость функциональных рядов.
- •11 Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •16.Частные производные .Первый полный дифференциал. Его инвариантность
- •18)Вопрос: Градиент и производная по направлению функции 2-х переменных. Ответ:
- •22. Глобальный максимум минимум ф-ции дфух переменных.Схема решения задач
- •24.Повторный интеграл ф-ции двух переменных определение основные св-ва
- •25. Связь между двойными и повторными интегралами
- •27. Криволинейный инт. 1го рода
22. Глобальный максимум минимум ф-ции дфух переменных.Схема решения задач
Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и
непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
23.Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая
уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций. Двойным интегралом называют кратный интеграл с Обозначение двойного интеграла
Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).
Основные свойства двойного интеграла
Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.
1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D1 и D2, то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D1 и D2, причем
2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f(x, y) + β· g(x, y)] также интегрируема в области D, причем
3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D 4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду
в этой области f(x, y) ≤ g(x, y), то
5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема
в области D, причем
(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)
6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число μ, удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула
(11)
В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (ξ, η), что μ = f(ξ, η), и формула (11) принимает вид
7°. Важное геометрическое свойство. равен площади области D (Это свойство, как уже отмечалось ранее, непосредственно вытекает из определения интегрируемости, данного в пункте Определение и существование двойного интеграла для произвольной области)