37. Задача о назначениях: стандартная постановка и особенности решения.

В распоряжении бригадира имеются N рабочих, каждого из которых нужно назначить на выполнение одной из N работ. Рабочие имеют разную квалификацию, поэтому стоимости c_ij выполнения i-м рабочим j-й работы различны. Бригадир должен распределить рабочих так, чтобы общая стоимость работ Z была минимальной. При этом каждый рабочий должен быть загружен только на одной работе и все работы - выполнены. Заметим, что в данной задаче число рабочих и работ совпадает, т.е. задача является сбалансированной. В случае несбалансированной задачи ее необходимо предварительно сбалансировать путем введения фиктивных рабочих или видов работ с достаточно высокими штрафными стоимостями работ.

Построим математическую модель данной задачи. Введем бинарные переменные x_ij так, что x_ij = 1, если i-й рабочий выполняет j-ю работу, и x_ij = 0, если не выполняет. Суммарная стоимость работ (целевая функция) вычисляется по формуле

. (7.7)

Для контроля условия «одна работа – один рабочий» дополним модель ограничениями

, (7.8)

, (7.9)

. (7.10)

Реализация задачи о назначениях в среде MS Excel показано на рис. 7.7. Ячейки B4:E7 содержат значения стоимостей выполнения работ, а ячейки B10:E13 – таблицу назначений. Для проверки условий (7.8) и (7.9) в ячейках F10:F13 и B14:E14 вычисляются контрольные суммы по строкам и столбцам таблицы назначений. Суммарная стоимость работ вычисляется в ячейке D15 по формуле

«=SUMPRODUCT(B4:E7;B10:E13)».

После подготовки рабочего листа выполняем команду «Сервис|Поиск решения» и заполняем поля диалога (рис. 7.8) и устанавливаем необходимые параметры. Результаты оптимизации (таблица назначений и общая стоимость работ)

39. Задача планирования штатного расписания.

Для формулировки математической модели введем обозначения. Пусть M₀ – исходное количество штатных сотрудников, M_i - количество штатных сотрудников в i-м месяце, N_i - количество стажеров в i-м месяце, S_i - объем необходимого рабочего времени в i-м месяце. Размер оплаты труда стажеров и штатных сотрудников обозначим A и B соответственно. Количество рабочего времени в месяц для стажеров обозначим C, и для штатных сотрудников - D.

Количество постоянных сотрудников в первом месяце планирования определяется стартовым значением

,. (7.11)

а в последующие месяцы к нему добавляются стажеры

, i = 2, 3, …, n, (7.12)

где n – количество планируемых месяцев.

Затраты на оплату труда (R_i) и объем фактических затрат рабочего времени (T_i) в i-м месяце составят

(7.13)

и

(7.14)

соответственно. Сумма общих затрат (целевая функция) за планируемый период будет

. (7.15)

Для корректного решения задачи добавим ограничения на возможные значения N_i и M_i:

, , N_i и M_i – целые. (7.16)

Условие выполнения ежемесячного плана имеет вид

. (7.17)

Рассмотрим решение этой задачи с помощью OpenOffice.org Calc. На рисунке 7.9 показан фрагмент рабочего листа с исходными данными и результатами оптимизации. Вычисление количества постоянных сотрудников производится в ячейках C11 и C12:C16 по формулам (7.11) и (7.12) соответственно:

«=$D$7»,

«=C11+B11» (в ячейке C13).

Количество отработанного времени по месяцам определяется в ячейках E11:E16 в соответствии с выражением (7.14):

«=C11*$E$5+B11*$D$5» (в ячейке E11).

Ежемесячные затраты на оплату труда вычисляются в диапазоне F11:F16 по формуле (7.13):

«=C11*$B$5+B11*$A$5» (в ячейке F11).

Общие расходы (целевая функция) за весь период планирования подсчитываются в ячейке F17 по формуле

«=SUM(F11:F16)».

Условия введены в качестве ограничений в диалоге «Решатель». Не забудьте установить все необходимые параметры. Результатом оптимизации будет полугодовой план приема и обучения стажеров, находящийся в диапазоне A11:B16.