33 . Функция распределения двумерной случайной величины.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y) (безразлично, дискретную или непрерывную).

П усть x, у -пара действительных чисел. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее у, обозначим через F(x, у). Если x и у будут изменяться, то, вообще говоря, будет изменяться и F(х, у), т.е. F(x, у) - есть функция от x и у.

Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют функцию F(x, у), определяющую для каждой пары чисел x, у вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее у:

F(x, у) = Р(Х<x, Y<у).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (x, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, Y) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (x, у), расположенный левее и ниже этой вершины (рис. 13)

Свойства функции распределения двумерной случайной величины

Свойство 1. Значения функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

0≤F(x,y,)≤1

Свойство 2. F (х, у) есть неубывающая функция по каждому аргументу, т.е.

F(x₂,y,)≥ F(x₁,y,) если х₂ > х₁; F(x,y₂)≥ F(x,y₁), если у₂ > у₁.

Свойство 3. Имеют место предельные соотношения:

1) F(-∞, y) = 0,

2) F(x, -∞) = 0,

3) F(-∞, -∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Свойство 4. а) При у=∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей X:

F(x,∞)=F₁(x)

б) При х=∞ функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y:

F(у,∞)=F₂(у).

-Плотностью совместного распределения вероятностей f(x,у) двумерной непрерывной случайной величины (X,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения:

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

34 Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом μ_ху случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

μ_ху={M[X-M(X)][Y-M(Y)]},

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу

а для непрерывных величин - формулу

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Как будет показано ниже, корреляционный момент равен нулю, если X и Y независимы; следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y - зависимые случайные величины.

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и Y - независимые случайные величины, то их отклонения X - М (X) и Y - М (Y) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

μ_ху= М {[Х - М (X)][Y - M (Y)]} = М [Х-М (X)]M[Y - M(Y)]=0.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Пусть, например, X и Y были измерены в сантиметрах и μ_ху = 2 см²; если измерить X и Y в миллиметрах, то μ_ху = 200 мм. Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику - коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции r_ху случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

r_ху= μ_ху/(σ_x σ_y). (*)

Так как размерность μ_ху равна произведению размерностей величин X и Y, σ_х имеет размерность величины X, σ_y имеет размерность величины Y (см. гл. VIII, § 7), то r_ху - безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (так как μ_ху = 0).

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину Z₁=σ_yX—σ_xY и найдем ее дисперсию D(Z₁) = M[Z₁—m_z]². Выполнив выкладки, получим

D(Z₁ )=2 μ_ху.

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

2 μ_ху≥0.

Отсюда

μ_ху ≤ σ_x σ_y. (**)

Введя случайную величину Z₁ =σ_vX +σ_xY, аналогично найдем

μ_ху≥ - σ_x σ_y. (***)

Объединим (**) и (***):

- σ_x σ_y≤ μ_ху ≤ σ_x σ_y, (****)

или

.

Итак,

.

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

r_ху≤1.

Доказательство: Разделим обе части двойного неравенства (****) на произведение положительных чисел σ_x σ_y

-1≤ r_ху ≤1.

Итак,

r_ху≤1.