21 Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и .

Известно, что графики функций f (х) и f (х—а) имеют одинаковую форму; сдвинув график f (х) в положительном направлении оси х на а единиц масштаба при а >0 или в отрицательном направлении при а < 0, получим график f(х—а). Отсюда следует, что изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а подрастает, и влево, если а убывает.

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр  (среднее квадратическое отклонение). Как было указано в предыдущем параграфе, максимум дифференциальной функции нормального распределения равен 1/( ). Отсюда следует, что с возрастанием  максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при убывании  нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Подчеркнем, что при любых значениях параметров а и  площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице (см. гл. XI, § 4, второе свойство плотности распределения).

На рис. 8 изображены нормальные кривые при различных значениях  и а = 0. Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра  сказывается на форме нормальной кривой.

Заметим, что при а = О и  = 1 нормальную кривую называют нормированной.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Уже известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f (х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), такова:

P(X)=

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), равна

P(X)=

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную z = (x—а)/. Отсюда x = z+a, dx = dz . Найдем новые пределы интегрирования. Если х= , то z=( a)/; если х =  , то z = (а)/.

Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

(*)

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность, того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой (*). По условию,  =10, =50, а = 30,  =10, следовательно,

P(10<X<50)= 

По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

Р(10< X < 50) =2*0,4772 = 0,9544.

22 Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |Х— а|<.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

—  <Х — а<, или а —  < X<a+

Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим

Приняв во внимание равенство

Ф( — /) = —Ф( / )

(функция Лапласа — нечетная), окончательно имеем

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /).

В частности, при а = 0

Р (| X |< ) = 2Ф ( /).

На рис. 9 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а=О, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (—,), больше у той величины, которая имеет меньшее значение . Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра  ( есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).

Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X — а|< и |Х—а| , — противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X — а| <  равна р, то вероятность неравенства |Х—а|  равна 1—р.

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. Воспользуемся формулой

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /).

По условию, = 3, а=20, =10. Следовательно,

Р (| X —20 | < 3) = 2Ф (3/10) =2Ф (0,3).

По таблице приложения 2 находим Ф (0,3) =0,1179. Искомая вероятность

Р (| X—20| < 3) = 0,2358.

Правило трех сигм

Преобразуем формулу (см. § 6)

Р (| X — а |< ) = 2Ф ( /),

положив  = t. В итоге получим

Р (| X — а |< t) = 2Ф (t).

Если t = 3 и, следовательно, t =3 то

Р (| X—а |< 3) = 2Ф (3) = 2 * 0,49865 = 0,9973,

т, е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.