15.Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

Пусть СВ X принимает только неотрицательные значения и у неё есть матем. Ожидание M(x), то какова бы ни была положительная величина ξ той же размерности, что и X, всегда выполняется ;

Док-во: проведем док-во только для непрерывных СВ. P(X)=0,X<0; P(X)>=0,X>=0;

;

;

; ; .

Неравенство Чебышева.

Какаво бы не было положительное число для любой СВ X, дисперсия которой конечна справедливо неравенство ;

.

16. Т.Чебышева. Т.Бернули. 8

Последовательность чисел наз. равномерно ограниченной, если сущ. такая константа M , . Если - последовательность попарно независимых СВ, у каждой из которых есть мат. ожидание и (дисперсии равномерно ограничены), то предел (6) -предел по вероятности.

Док-во. По условию последовательность дисперсии равномерно ограниченна, т.е. , .

Рассмотрим вспомогательные СВ . У нее есть мат. ожидание

удовл. требованиям неравенства Чебышева. Применяя неравенство (6)

(8)

(9)

Следствие из теоремы : если - последов независим. СВ имеющих одно и то же мат. ожидание и , то неравенство .(9). Примет вид (10)

Следствие из теоремы важно на практике, если нужно измерить некоторую величину, истинное значение которой , проводят измерений этой величины. Если при измерениях отсутствуют системные ошибки, то можно считать что дисперсии ограничены, тогда среднее арифм. значение рез-ов измерений с ростом n прибл. к истинному значепию измеряемой величины m . Можно положить, что .

Т.Бернули

(1) - относительная частота или частность (сходится к вер-ти)

Док-во: Пусть - число появления события A в первом испытании.

	0	1
	q	p

,

Мы находимся в условиях т.Чебышева

;

т.Бернули явл. статистическим определением вероятности.

17. Теорема Ляпунова:

Можно доказать что, если - нормально распределенные случайные величины, то их сумма также норм. распред. СВ с мат. ожиданием ,

Обобщением явл. т. Ляпунова :

Пусть - независимые СВ, у каждой из которых мат. ожидание

и , абсолютный центральный момент третьего порядка и выполняется , .(3). то для суммы выполняется следующее .(4).

Следствие: если все и одинаковые, то распределена асимптотически по нормальному закону.

Физ. смысл условий, при кот. сумма будет распространяться практически по норм закону, сост. в том, что удельный вес каждого слаг. должен 0 при 9 увеличении числа слагаемых.

Ошибки, допускаемые при проверке стат.гипотез.

Уровень значимости стат. критерия.

Ошибкой первого рода наз. Ошибка отклонения верной нулевой гипотезы H₀

_-------- второго рода наз. Принятие ложной гипотезы H₀

Уровнем значимости стат. критерия наз. вероятность совершенной ошибки первого рода.

Мощностью критерия наз вероятность несовершенной ошибки второго рода.

Проверка гипотезы о нормальном распределении СВ.

Эта гипотеза есть непар. гипотеза.

Основное предположение в том, что вид закона распределения – нормальный.

Критерий согласия Пирсона.

Пусть имеется по результатам выборки вариационный ряд.

	X1-x2	X2-x3	X3-x4	…	Xn-1-xn
mi	M1	M2	M3	…	Mn-1
wi	M1/n	M2/n	M3/n		Mn-1/n

Если гипотеза о нормальном распределении верна, то эмперические частоты должны совпадать с теоритическими частотами.

nP₁-теор.частота

… и т.д.

-эта величина распространяется по закону

- табличная величина.

Если , гипотеза согласуется с данными опыта.

число степеней свободы.

Достоинства - применим как для непрерывных, так и для дискретных СВ

Недостаток – громоздок

Эмпирическая функция распределения.

Из закона больших чисел следует, что если количество наблюдений велико, то F”(x) стремится по вероятности к теоретической функции распределения F”(x).

1)F”(x)-неубывающая функция.

2)

3)Если все значения находятся в промежутке [x_k-1;x_k] то F”(x)=1;F”(x_k-1)=0;

Если по х откл.значения вариант, а по оси y накопленные частности и получаются соедин. Прямыми, то ломанные комулятой.

Комулята – статистический аналог интегральной функции распределения в теории вероятности.

- аналог M(X);

-выборочная дисперсия.

-среднее квадратичное отклонение.

Размах выборки

Модой называется то значение варианты, при котором достигается наибольшая частота.

Если несколько таких значений – то распределение – полимодальное.

- медиана. Делит вариационный ряд пополам.

Начальный и центральный выборочные моменты.

Суть метода Кормагорова: сравн. теор. и данотир. ф-цию распределения:

1) выдвиг H_a: ;

2) извлекается выборка объема n;

3) Находят .

Величина при увеличении объема выборки обладает след. св-вом: вер-ть того, что .

;

4) по величине , сравнивая с табличными значениями в зависимости от уровня значимости

0,10 0,05 0,01 10

1,224 1,358 1,627

Если окаж. , то отсюда следует несоответствие опытным данным.

Элементы теории корреляции.

Каждому значению х соответствует 1 или несколько вполне определенных y. Две СВ X, Y могут быть связаны, либо зависимостью другого рода, наз. Статистической, либо не связаны (независимы).

Пример: Пусть Х – кол-во внесенных удобрений, Y – урожайность с одинаковой по площади участков при одинак. внесенных удобрениях получ. различн. урожай. Средняя урожайность есть ф-ция от кол-ва удобрений.

Пусть имеется 3 участка (внесли 2 тонны). На одном получили 5 единиц, на другом 6 единиц, на 3-ем – 10 единиц.

.

– условное среднее – среднее арифметическое значение Y, соотв. значению х=2. Если каждому значению X соотв. 1 нач. условной средней , то – ф-ция от значений X. В этом случае говорят, что СВ Y зависит от СВ X корреляционно.

Корреляционной зависимостью Y от X наз ф-цию зависимости условной средней от x.

(1) это уравнение наз. Уравнением регрессии Y на X, а график этой ф-ции наз. ниейрегрессии .