Принцип Германа-Эйлера-Даламбера для несвободной материальной точки («Петербургский принцип»)

Для свободной материальной точки массой m использовали уравнение вида

Рассмотрим движение несвободной материальной точки в трехмерной системе отсчета инерциальной системе координат.

П усть на точку действует некоторое тело А с силой . На точку наложена связь – некоторое тело В (см. рисунок), реакция которой .Тогда равнодействующая этих сил будет находиться по формуле

и в соответствии со вторым законом Ньютона ускорение будет направлено вдоль равнодействующей .

В результате возникновения ускорения точка массой m в соответствии с законом равенства действия и противодействия будет сопротивляться навязыванию ей ускорения с силой, равной и противоположно направленной , т.е :

И тогда геометрическая сумма заданных сил , динамических реакций связи и сил инерции в любой момент времени равна нулю и образует уравновешенную систему сил, а точка находиться в динамическом равновесии:

(1)

Это уравнение выражает принцип Даламбера для несвободной точки.

Уравнение (1) получали ранее, рассматривая динамику относительного движения точки.

Следует отметить, что приложена не к точке, а к телам, которые сообщают этой точке ускорение, т.е. к телам А и В.

Частные случаи

Е

τ

сли точка движется криволинейно неравномерно,

Тогда:

т

τ

о

;

Р ассмотрим пример 1.

М

ρ

α

ашина весом Р движется по мосту радиусом ρ с постоянной скоростью V. Требуется найти реакцию связи .

Проектируя равенство (1) на нормаль, получим:

=0

откуда

если N=0, то наступает состояние невесомости,

т .е: ,

где :

Пример 2.

Определим угол наклона профиля автострады на вираже радиуса Р при скорости V и массе m.

Из подобия треугольников ABC и PRF_in

;

откуда находим Н.

здесь: ;

Принцип Даламбера для Механической системы

Рассмотрим M_i-ю точку с массой m_c и применим к ней принцип Даламбера:

Суммируя по n-точкам системы, получим

(1)

или

Т.е. для несвободной механической системы в любой момент времени геометрическая сумма главных векторов заданных сил, реакций связи и сил инерции равна нулю.

Рассматривая разные случаи движения твердого тела, отметим, что силы инерции точек этого тела приводятся по-разному.

Частные случаи

1. Поступательное движение твердого тела

Система сил инерции точек приводится к главному вектору сил инерции: ,

где - сумма масс всех точек;

а_с - ускорение центра масс.

Если радиус-вектор i-ой точки умножить на равенство (1), то получим:

Т.е. геометрическая сумма главных вектор-моментов заданных сил , реакций связи и вектор –момента от силы инерции в любой момент времени равна нулю.

2

τ

ε

. Вращательное движение

Касательное ускорение обеспечивается (моментом внешних сил), который равен:

τ

Очевидно, что момент от силы инерции противоположен т.е

т.е. направление главного момента от сил инерции противоположно направлению углового ускорения .

Таким образом, при вращении тела вокруг оси силы инерции точек тела приводится только к главному моменту сил инерции относительно оси:

3. Плоско-параллельное движение

Тело двигается в плоскости симметрии xoy. Ускорене центра масс и угловое ускорение известны.

В данном случае система сил инерции точек тела приводится к главному вектору сил инерции и к главному моменту от сил инерции относительно

ε

;

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Классификация связей, наложенных на систему

Обобщенные координаты

Число степеней свободы

Перемещение системы и отдельных ее точек не может происходить произвольно. Их перемещение ограничено определенными условиями - связями. В динамике связи будем классифицировать по ряду признаков:

1. Стационарная и нестационарная связь

Стационарная связь - это связь, уравнение которой не содержит времени.

В противном случае связь нестационарная. Например крльцо А:

u - скорость троса

текущая длина троса

- уравнение связи

Эта связь нестационарная т.к ее уравнение входит время t:

2. Стационарная, односторонняя неудерживающая

3. Стационарная, двухсторонняя удерживающая

4. Связь, не накладывающая ограничения на скорость тела, называется

голономной связью. Связь, накладывающая ограничения на скорость называется неголономной связью.

В аналитической механике применяется принцип освобождаемости от связей и тогда отдельные точки являются свободными и к ним приложены все заданные силы и реакции связей. Отдельные точки системы могут совершать определенные перемещения, допускаемые связями. Возможными или виртуальными перемещениями точек системы называют воображаемые, бесконечно малые перемещения точек, которые допускают связи, наложенные на систему в данный момент. Например : и

δS

- прямолинейные в виду их малости

δφ

δφ

δS

5. Если сумма элементарных возможных работ реакций связей на любом возможном перемещении равны нулю, то такую связь называют идеальной.