Вынужденные колебания

Предположим, что на систему в определенной точке действует периодически изменяющаяся сила с частотой ω:

,

где F – возмущающая сила;

ω – частота этой силы;

H – амплитудное значение;

θ – начальная фаза.

Тогда система будет совершать вынужденные колебания и поведение системы будет определяться в основном наличием сопротивления и частоты возмущающей силы .

Тогда уравнение Лагранжа запишется:

,- Фр обобщеных сил ( заданых сил)

где Q_R – обобщенная сила сил сопротивления;

Q_F – обобщенная сила сил возмущения.

Дифференциальное уравнение будет выглядеть:

(1)

Уравнение (1) – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний при наличии сил сопротивления.

Если сопротивление отсутствует, то n=0. Тогда система будет совершать гармонические колебания с частотой ω, но не с k.

Текущая амплитуда при наличии сил находится по формуле

Если сопротивление отсутствует (т.е. n=0), то амплитуда равна

Если отсутствует сопротивление частоты собственных колебаний совпадают с частотой вынуждающих сил ( ), то наступает явление резонанса и амплитуда неограниченно возрастает (А→ ∞). Конструкция разрушается.

Свойства вынужденных колебаний

1. Вынужденные колебания при линейном сопротивлении являются незатухающими с постоянной амплитудой.

2. Сопротивление не влияет на частоту вынужденных колебаний, которые совпадают с частотой возмущающей силы.

3. Вынужденные колебания при линейном сопротивлении не зависят от начальных условий.

4. Резонанс ( ) наступает при отсутствии (малом) сопротивлении и совпадении частот k и ω.

Теория удара

В результате действия на систему обычных не ударных сил за ничтожно малый промежуток времени скорость отдельной точки тела будет изменяться на бесконечно малую величину

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную (заметную) величину, называется ударом.

Если скорость точки тела до удара , а после удара , то используется теорема об изменении количества движения:

;

где τ – время удара;

- среднее значение ударной силы.

Так как при ударе развиваются очень большие силы, то берется среднее значение ударной силы.

,

где - ударный импульс

В теории удара принимается ряд допущений:

1. действием неударных сил пренебрегают;

2. не учитывается перемещение тела в процессе удара;

3. результат действия ударной силы на тело выражается в конечном

изменении вектора скорости.

Суммируя по n-точкам системы, получим теорему об изменении количества движения при ударе

,

где - сумма внешних ударных импульсов (внешних ударов).

Если внешний удар равен нулю, то

К=К_о=const,

т.е. имеет место закон сохранения количества движения системы при ударе.

Коэффициент восстановления

Величина ударного импульса зависит не только от масс и скоростей соударяемых тел, но и от упругих свойств этих тел, которые характеризуются коэффициентом восстановления

;

т.к

в процессе удара произошла потеря энергии, которая затрачивается на остаточную деформацию тела, на выделение тепла, на образование звука…

поскольку ; , то:

Самый высокий коэффициент восстановления у стекла - 15/16; у стали - 5/9; у дерева - ½.

Если в течение удара нет фазы восстановления после удара (K=0), то это - абсолютно неупругий удар (к примеру – пластилин).

Если h=H, т.е. K=1 – это абсолютно упругий удар, что не реально на практике.

Если - то это не вполне упругий удар.

П ри ударе угол падения не равен углу отражения.

α

β

Н а коэффициент восстановления тела K влияет и форма тела, а не только масса m и скорость V, т.к. происходит изменение условий распределения ударной волны в самом теле, что приводит к изменению упругих свойств самого тела.

Скорость удара будет

Различаться и обусловленое

Формулой тел.