§ 5. Кривизна и кручение. Формулы френе

1. Кривизна кривой

Определение. Кривизной k_x кривой L в точке М₀ называется предел отношения s при ММ₀, где в — наименьший из углов между касательными к кривой L в точках М₀ и М, a s — длина дуги М₀М (рис. 19).

Рис. 19. Длины сторон МА и MB треугольника АВМ равны единице, длина основания АВ равна 2sin(/2).

Иногда k₁ называют первой кривизной кривой.

ТЕОРЕМА 5. Пусть r(t) — вектор кривой L и М₀ — точка кривой L, отвечающая значению t₀ параметра. Тогда если r'(t₀)≠0 и существует r"(t₀), то кривая L имеет в точке М₀ кривизну k₁(t₀). Если параметр — длина дуги s, то

k₁(s₀)=|r"(s₀)|.

1 Вивиани (Viviani) Винченцо (5.4.1622—22.9.1703) — итальянский математик и физик.

2 Тейлор (Taylor) Брук (18.8.1685—29.12.1731) — английский математик.

3 Пеано (Реапо) Джузеппе (27.8.1858—20.4.1932) — итальянский математик.