4. Достаточные условия гладкости кривой

ТЕОРЕМА 1 (достаточные условия гладкости в точке).

Пусть кривая L задана векторной функцией r=r(t), имеющей в некоторой окрестности значения t₀{t} непрерывную производную r'(t), причем r'(t₀)≠0.

Тогда кривая L является гладкой кривой в точке М₀, отвечающей значению t₀.

ТЕОРЕМА 2 (достаточные условия гладкости кривой).

Пусть кривая L задана векторной функцией r=r(t), t{t}, имеющей непрерывную производную r'(t). Если r'(t)≠0 для любого t{t}, то кривая L гладкая.

Поскольку r'(t)≠0, то согласно теореме 1 кривая L является гладкой в любой своей точке. Из условия r'(t)≠0 и непрерывности r'(t) следует непрерывность касательной к кривой L. Значит, L — гладкая кривая.

5. Регулярные кривые

Пусть гладкая кривая L задана векторной функцией r=r(t). Если r(t)Cⁿ, n>2, то кривая L называется регулярной кривой (кривой класса С^п).

Достаточные условия регулярности кривой.

Для того чтобы заданная векторной функцией r(t), t{t}, кривая L была регулярной, достаточно, чтобы на множестве {t} изменения параметра были выполнены следующие условия: r(t)Cⁿ, n>2, r'(t)≠0.

Эти условия вытекают из достаточных условий гладкости (теорема 2) и определения регулярности.

Замечание. Если производная r'(t) непрерывна и r'(t₀)≠0, то r'(t)≠0 в некоторой окрестности, значения t₀. Если, кроме того, r(t)Cⁿ, n>2, на множестве {t}, то в окрестности точки М₀, отвечающей значению t₀, кривая L регулярная. Тем самым условия r(t)Cⁿ, n>2, и r'(t₀)≠0 являются условиями локальной регулярности кривой.

§ 3. Длина дуги кривой

1. Определение и основные свойства

Пусть L — простая кривая, r(t), atb, — ее радиус-вектор.

Разобьем сегмент [а, b] на части точками

а=t₀<t₁,…,<t_n=b

Отметим на кривой L точки М_i, отвечающие значениям t_i, и построим ломаную M₀M₁... М_п-1М_п, вписанную в кривую L (рис. 12).

Рис. 12. Ломаная M0M1,... Мп-1Мп правильно вписана в кривую L

Рис. 13. Всякую ломаную, правильно вписанную в простую кривую V, можно достроить до ломаной, вписанной в кривую L

Определение. Кривая L называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломаных, вписанных в простую кривую L указанным выше способом, ограничено. Точная верхняя грань этого множества называется длиной дуги кривой L или просто длиной кривой L.

Свойства длины дуги кривой.

1. Если простая кривая L' является частью спрямляемой простой кривой L, то кривая L' также спрямляема.

Всякая ломаная, вписанная в L', является частью ломаной, вписанной в L (рис. 13). Поэтому множество длин ломаных, вписанных в кривую L', ограничено, т. е. кривая L' спрямляема.

Ясно, что длина дуги кривой L' меньше длины дуги кривой L.

2. Если простая кривая L разбита точкой N на спрямляемые части L' и L", то кривая L спрямляема и для длин s(L'), s(L") и s(L) дуг кривых L', L" и L выполняется соотношение

s(L') + s(L")=s(L).

Рассмотрим произвольную ломаную, вписанную в кривую L (рис. 14).

Добавим к ее вершинам точку N.

Получим новую ломаную, длина которой больше длины исходной ломаной и равна сумме длин ломаных, вписанных в кривые L' и L".

Рис. 14. Объединение ломаных, вписанных в кривые L' и L", правильно вписано в кривую L=L'L"

Рис. 15. Разбиению отрезка изменения параметра соответствует вписанная в кривую ломаная

Отсюда следует, что множество длин ломаных, вписанных в кривую L, ограничено сверху числом s(L')+s(L").

Так как мы всегда можем выбрать вписанную в кривую L и содержащую вершину N ломаную так, что ее длина будет отличаться от s(L')+s(L") меньше чем на заданную положительную величину, то s(L')+s(L") — точная верхняя грань длин ломаных, вписанных в кривую L.

Тем самым s(L)=s(L')+s(L").

Пусть А и В — граничные точки спрямляемой кривой L, М — точка кривой L, соответствующая некоторому значению i из сегмента [а, b], (t),(t),χ(t) — координаты векторной функции r(t).

Обозначим через s(t) длину дуги кривой AM (рис. 15).

3. Функция s(t) строго монотонна и непрерывна на сегменте [а, b] и положительна при t>a.

Положительность s(t) очевидна.

Монотонность вытекает из свойства 2.

Доказательство непрерывности предварим вспомогательными рассмотрениями.

а) Пусть  — любое положительное число. Из определения длины дуги вытекает существование вписанной в кривую L ломаной, длина которой отличается от длины кривой L меньше чем на /2. Естественно рассматривать ломаную, имеющую точку М одной из своих вершин.

Ясно, что и длина части этой ломаной, вписанной в кривую AM, отличается от ее длины s(t) меньше чем на /2.

Конечно, длина любого звена рассматриваемой ломаной отличается от длины стягиваемой ею дуги меньше чем на /2.

б) Длины звеньев ломаной со свойством а) можно считать меньше /2. Действительно, из свойства равномерной непрерывности координат (t),(t),χ(t) радиуса-вектора r(t) кривой L на сегменте [а, b] вытекает, что по данному >0 найдется такое положительное число , что при разбиении сегмента [а, b] на частичные сегменты [t_i-1, t_i], t=1, 2, п, с длинами меньше  колебания функций (t),(t),χ(t) на каждом частичном сегменте [t_i-1, t_i],будут меньше /(23). Тогда длина i-го звена ломаной будет меньше /2:

в) Рассмотрим ломаную со свойствами а) и б). Дуга, стягиваемая произвольным звеном этой ломаной, имеет длину, меньшую . В самом деле, по свойству а) длина такой дуги отличается от длины стягивающего ее звена меньше, чем на /2, а по свойству б) длина любого звена меньше /2.

Докажем теперь непрерывность функции s(t).

По данному >0 построим ломаную со свойствами а), б), в) и соответствующее этой ломаной разбиение сегмента [а, b]. Пусть точка М на кривой L отвечает значению t=t_k.

Обозначим через  наименьшую из длин сегментов [t_k-1,t], [t, t_k+1].

Если 0<t<, то s(t)<s(t+t) <s(t_k+1). Отсюда вытекает, что

0 < s(t+t) − s(t) < s(t_k+1) − s(t) < ,

так как длина дуги, стягиваемой звеном ломаной, меньше .

Случай (−)<t <0 рассматривается аналогично. Таким образом,

|s(t+t) − s(t)|<,

если только |t|< .

В силу произвольности выбора точки М на кривой L непрерывность функции s(t) на сегменте [а, b] доказана. *

Пусть S — длина кривой L. Вследствие того что функция s=s(t) на сегменте [а, b] строго возрастает от нуля до S и непрерывна, на сегменте [0, S] существует строго возрастающая и непрерывная функция t=t(s). Это означает, что параметр t на спрямляемой кривой есть строго монотонная и непрерывная функция длины дуги s. Отсюда следует, что на спрямляемой простой кривой в качестве параметра может быть выбрана длина дуги s.

Такая параметризация спрямляемой кривой называется натуральной или естественной, а параметр s (длина дуги) — натуральным параметром.

Задача. Доказать, что для спрямляемости простой кривой L необходимо и достаточно, чтобы функции (t),(t),χ(t) были функциями ограниченной вариации.

Замечание. Понятие длины дуги можно ввести и для кривых, заданных параметрически. Длина дуги такой кривой по определению равна сумме длин простых кривых, из которых она составлена, при условии, что эта сумма ограничена. И в этом случае длина дуги может быть параметром на кривой.