2. Достаточные условия спрямляемости

ТЕОРЕМА 3. Пусть простая кривая L задана векторной функцией r(t)= (t)i + (t)j + χ(t)k, а<t<b. Тогда если функции '(t),'(t),χ'(t) непрерывны на сегменте [а, b] то кривая L спрямляема и длина ее дуги может быть вычислена по формуле

S= . (1)

25

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть выполнены условия теоремы 3 и t — любая точка сегмента [a, b]. Тогда длина s(t) дуги АМ, где М — точка кривой L, соответствующая t, равна

s(t)= (6)

Из формулы (6) получаем важный вывод.

СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть r'(t)≠0. Тогда существует функция t=t(s), обратная функции s=s(t) и дифференцируемая столько же раз, сколько и функция r(t).

Это следует из правила дифференцирования обратных функций. Например, первая производная

выражается через первую производную r'(t), вторая d²t/ds² — через r'(t) и r"(t) и т. д.

Таким образом, если L — регулярная кривая класса Сⁿ, то при переходе к натуральному параметру s она также будет регулярной кривой класса Cⁿ.

Замечание. Если длина дуги кривой выбрана за параметр, т. е. t=s, то |r'(s)| = l (r'²(s) = l) и вектор r"(s) — ортогонален вектору r'(s).

Формула для дифференциала дуги ds²=dx² +dy² + dz².

§ 4. Соприкасающаяся плоскость

1. Определение соприкасающейся плоскости

Соприкасающейся плоскостью кривой L в точке М₀ называется предел, к которому стремится при ММ₀ переменная плоскость _M, проходящая через касательную М₀Т к кривой L в точке М₀ и текущую точку М кривой L (плоскость я называется пределом при ММ₀ переменной плоскости _M, проходящей через прямую М₀Т и точку М, если угол  между плоскостями  и _M стремится к нулю) (рис. 16).

Рис. 16. Вектор r'(t₀)r"(t₀) ортогонален соприкасающейся плоскости , вектор N_ ортогонален перемен ной плоскости _M.

Замечание. Если плоскость я является предельной при ММ₀ переменной плоскости _M, то проходящая через точку М₀ нормаль к плоскости я является пределом нормалей к плоскостям ям, проходящим через точку М₀. Справедливо и обратное: если существует предел нормалей к переменным плоскостям (проходящим через фиксированную прямую), то существует и предел этих плоскостей.

2. Достаточные условия существования соприкасающейся плоскости

ТЕОРЕМА 4. Пусть r = r'(t) — радиус-вектор кривой L и М₀ — точка этой кривой, отвечающая значению t₀ параметра. Тогда если векторы r'(t₀) и r"(t₀) неколлинеарны, то в точке М₀ существует соприкасающаяся плоскость к кривой L, причем r'(t₀)r"(t₀) — вектор нормали к этой плоскости.

Пусть R — вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости я. Тогда векторы R−r(t₀), r'(t₀), r"(t₀), будучи отложены от точки M(t₀), расположатся в соприкасающейся плоскости  (рис. 17).

Рис. 17. Кривая и ее соприкасающаяся плоскость.

Поэтому их смешанное произведение будет равно нулю:

(R−r(t₀))•(r'(t₀)r"(t₀))=0 (2)

Формула (2) — уравнение соприкасающейся плоскости кривой L в точке М₀.

3. Главная нормаль и бинормаль кривой. Основной триэдр

Любая прямая, проходящая через точку М кривой L перпендикулярно касательной к кривой L в точке М, называется нормалью кривой L в точке М.

Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости кривой L в точке М, называется главной нормалью, а нормаль, перпендикулярная этой соприкасающейся плоскости, — бинормалью.

Касательная, главная нормаль и бинормаль кривой в данной точке кривой определяют три плоскости, проходящие через эту точку и связанные с кривой.

Среди этих плоскостей уже знакомая нам соприкасающаяся плоскость. Она проходит через касательную и главную нормаль.

Плоскость, проходящая через главную нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью (она содержит все нормали к кривой в этой точке).

Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль, называется спрямляющей плоскостью (рис. 18).

Рис. 18. Векторы , n, b отложены от точки М; тройка , n, b — основной триэдр кривой в точке М.

Эти три плоскости — соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая — определяют основной триэдр (трехгранник) кривой.

Пусть , и, b — тройка единичных попарно ортогональных векторов, отложенных от точки М и направленных соответственно по касательной, главной нормали и бинормали.

Ориентация этих векторов обычно выбирается следующим образом: вектор  сонаправлен с вектором r'(t), конец вектора n лежит в той полуплоскости соприкасающейся плоскости (с границей по касательной), куда указывает вектор r"(t).

Вектор b выбирается так, чтобы тройка , n, b была правой.

Впрочем, в зависимости от рассматриваемого вопроса возможны и другие ориентации векторов , n, b.

Задача. Составить уравнения касательной, главной нормали и бинормали кривой, а также нормальной и спрямляющей плоскостей. .