§ 2. Гладкие и регулярные кривые

Касательная к кривой

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

х=(t), y=(t), z=χ(t), t{t}

(функции (t),(t),χ(t) непрерывны на множестве {t}).

Обозначим через М₀ точку кривой L, отвечающую значению t₀ параметра, а через М — точку кривой L, отвечающую значению t параметра из некоторой окрестности значения t₀.

Рис. 9. Окрестность точки М₀ на кривой L — множество точек М кривой, отвечающих значениям t параметра из окрестности t₀; М₀Т — касательная к кривой L в точке М₀.

Ясно, что ММ₀, если tt₀.

Прямая М₀Т называется касательной к кривой L в точке М₀, если при ММ₀ меньший угол  между этой прямой и переменной прямой М₀М стремится к нулю (рис. 9).

2. Гладкие кривые

Кривая L называется гладкой в точке М₀, если в этой точке существует касательная к кривой L и некоторая окрестность точки М₀ на кривой L однозначно проектируется на эту касательную.

Точки кривой, в которых она не является гладкой, называются особыми (рис. 10).

Кривая L называется гладкой, если она является гладкой в каждой точке и касательные в точках кривой L изменяются непрерывно. Последнее означает, что если М и N — любые точки кривой L, то при MN касательная в точке М стремится к касательной в точке N (наименьший угол между этими касательными стремится к нулю).

Рис. 10. а) — кривая L₁ не имеет касательной в точке М₁; б) — в точке М₂ кривая L₂ имеет касательную M₂T, но никакая окрестность точки М₂ на кривой L₂ не проектируется однозначно на М₂Т (например, точки А и В проектируются в одну и ту же точку С)

Пример. Кривая

гладкая в любой своей точке, но никакая окрестность точки О(0, 0) не является гладкой кривой.

3. Дифференцирование и интегрирование векторных функций

Пусть векторная функция r(t) определена на множестве {t}.

Говорят, что векторная функция r(t) имеет производную в точке t, если существует предел

lim (r(t+t)−r(t))/t при t 0

Обозначения: r'(t)≡dr(t)/dt.

Геометрический смысл производной векторной функции ясен из рис. 11.

Рис. 11. Вектор r'(t) направлен по касательной к годографу векторной функции r=r(t) в точке М

Если r'(t)≠0, то существует касательная к годографу L векторной функции r(t) в точке М, отвечающей значению t параметра, и вектор r'(t) направлен по этой касательной.

Пусть (t),(t),χ(t) — координаты векторной функции r(t).

Если функция r(t) имеет производную в точке t, то каждая из функций (t),(t),χ(t) также имеет производную в точке t.

Верно и обратное: если функции (t),(t),χ(t) имеют производные в точке t, то и векторная функция r(t) имеет производную в этой точке.

Если каждая из функций r(t), R(t) и λ(t) имеет производную в точке t, то функции r(t)±R(t), λ(t)r(t), r(t)R(t), r(t)•R(t) также имеют производные в этой точке, причем выполняются следующие соотношения:

(r ± R)' = r' ± R', (λ(t)r(t))' = λ(t)'r(t) + λ(t)r(t)',

Производная векторной функции r'(t) называется второй производной векторной функции r(t). Аналогично определяются третья и последующие производные.

Вторая и третья производные обозначаются соответственно через r"(t) и r'"(t).

Для производных n-го порядка обычно используются обозначения r⁽ⁿ⁾(t) или dⁿr(t)/dtⁿ.

Если (t),(t),χ(t) — координаты векторной функции r(t), то

r⁽ⁿ⁾(t) = ⁽ⁿ⁾(t)i + ⁽ⁿ⁾(t)j + χ⁽ⁿ⁾(t)k. (2)

Если у векторной функции r(t) существуют и непрерывны все производные до порядка n включительно, то пишут r(t)Cⁿ.

Пусть функция r(t)C^n-1 в некоторой окрестности точки t₀ и существует производная rⁿ(t₀). Тогда для r(t) справедлива формула Тейлора²:

Формула (3) получается так.

Разложим координатные функции (t),(t),χ(t) вектора r(t) по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано³ o((t-t₀)ⁿ)

Умножая первое соотношение на орт i, второе — на орт j, третье — на орт k, складывая и используя формулы (1) и (2), получим разложение (3).

Интеграл Римана (t)dt для векторной функции r(t), atb, определяется как предел интегральных сумм.