3. Пространственные кривые

Понятие пространственной кривой вводится в полной аналогии с понятием плоской кривой.

Простой пространственной кривой называется множество L точек М пространства, координаты х,у,z которых определяются соотношениями

х=(t), y=(t), z=χ(t), a≤t≤b, (5)

где (t), (t), χ(t) — функции, непрерывные на сегменте [а, b], если различным значениям параметра t из сегмента [а, b] отвечают различные точки этого множества.

Используя понятия простой пространственной кривой и разбиения связного множества {t} изменения параметра, приходим так же, как и в случае плоскости, к понятию пространственной кривой, задаваемой параметрическими соотношениями вида (5) при условии монотонного изменения параметра t на, множестве {t}.

Соотношения (5) называют параметрическими уравнениями пространственной кривой.

Замечание. В «n-мерном евклидовом пространстве Е^п кривые определяются при помощи соотношений

х¹=₁(t), х²=₂(t),…,хⁿ=_n(t),

где параметр t изменяется на некотором связном множестве {t}, а функции _i(t) непрерывны.

4. Кривая как линия пересечения поверхностей

Пусть F₁(x, у, z)=0 и F₂(x, у, z)=0 —.уравнения поверхностей Ф₁ и Ф₂ соответственно.

Систему

F₁(x, y, z)=0, F₂(x, у, z)=0

можно рассматривать как уравнения линии пересечения поверхностей Ф₁ и Ф₂ — кривой L (рис.6).

Рис. 6. Пространственная кривая как линия пересечения поверхностей

Действительно, уравнениям (6) удовлетворяют координаты х, y, z любой точки М этой кривой.

Если разрешить систему уравнений (6) относительно, например, у и z, т. е. найти у и z как функции х:

у=y(х), z=z(х),

(это возможно в некоторой окрестности точки М кривой L при условии

0

в самой точке М) и затем выбрать х за параметр t, то мы получим параметрические уравнения кривой

x =t, y =(t), z =χ(t).

Пример. Кривая Вивиани¹ представляет собой линию пересечения сферы радиуса а и круглой цилиндрической поверхности диаметра а, одна из образующих которой проходит через центр сферы.

Если поместить начало координат в центр этой сферы, а ось Oz направить по образующей цилиндрической поверхности, то уравнения сферы Ф₁ и цилиндрической поверхности Ф₂ примут вид

х²+у²+z²=а², х²+у²−ах=0.

Это и есть уравнения кривой Вивиани (рис. 7).

Если выбрать х за параметр t, то из приведенной системы получим параметрические уравнения отдельных частей (в зависимости от выбора знаков перед корнями) кривой Вивиани:

x=t, y= , z= , 0≤t≤a.

Рис. 7. Кривая Вивиани — линия пересечения сферы и цилиндра

Рис. 8. Годограф векторной функции

5. Кривая как годограф векторной функции

Пусть {t} — связное множество точек на прямой R (сегмент, полусегмент, интервал, открытая или замкнутая полупрямая, вся прямая).

Будем говорить, что на множестве {t} задана векторная функция r=r(t), если каждому значению t{t} по определенному правилу ставится в соответствие вектор r(t).

Если откладывать все векторы от начала координат, то при изменении параметра t по множеству {t} конец М вектора r(t) опишет некоторое множество {М}, которое называется годографом векторной функции r(t) (рис. 8).

Для векторных функций в полной аналогии со скалярными функциями вводятся понятия предела и непрерывности. 14

Сформулируем соответствующие определения.

Вектор b называется пределом векторной функции r= r(t) при ta (в точке а), если для любого >0 существует >0, такое, что для всех t{t}, удовлетворяющих условию 0<|t−а|<, выполняется неравенство |r(t)−b|<.

Обозначения: r(t)b, lim r(t)=b при ta.

Векторная функция r=r(t) называется непрерывной в точке t₀{t}, если r(t)r(t₀) при tt₀.

Векторная функция называется непрерывной на множестве {t}, если она непрерывна в каждой его точке.

Пусть задана векторная функция r=r(t), t{t}.

Тогда координаты х, у, z переменного вектора г(/) также будут функциями параметра t{t}

х=(t), y=(t), z=χ(t), (7)

При этом если i, j, k — единичные векторы координатных осей, то

r(t)= (t)i+(t)j+χ(t)k

Отметим, что если функции (7) заданы, то их можно считать координатами векторной функции r=r(t). Легко видеть, что если r(t)b, то функции (7) имеют пределы при ta, равные соответствующим координатам вектора b.

Из непрерывности r(t) в точке а следует непрерывность функций (7) в точке а.

Верно и обратное: из существования пределов при ta функций (7) вытекает существование предела при ta векторной функции r(t) с координатами (7).

Аналогично и для непрерывности.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Если векторные функции r(t), R(t) и скалярная функция (t) непрерывны, то функции r(t)±R(t), (t)r(t), r(t)•R(t), r(t)R(t) также непрерывны.

Докажем, например, непрерывность функции r(t)•R(t).

Пусть (t),(t),χ(t) — координаты векторной функции r(t) и  (t), (t), X(t) — координаты векторной функции R(t). Тогда

r(t)•R(t)= (t) (t)+(t)(t)+χ(t)X(t).

Так, как из непрерывности скалярных функций следует непрерывность, их произведения и суммы, то из последнего равенства можно заключить, что скалярное произведение r(t)•R(t) непрерывно. ∎

Пубть r=r(t) — непрерывная на сегменте [a, b] векторная функция. В случае, когда различным значениям параметра t из этого сегмента отвечают различные значения векторной функции, ее годограф — простая кривая.

Можно говорить также, что кривая, заданная параметрически при помощи соотношений (7), является годографом векторной функции r=r(t) с координатами (7). Иными словами, параметрическое и векторное задания кривой, равносильны.

Мы будем использовать следующую терминологию: «кривая L задана векторной функцией r=r(t)» или «r=r(t) — вектор кривой L».