11B)Вывод с для сферы:

Поместим на внешнюю сферу (радиуса R2) заряд q, а на внутреннюю (радиуса R1) --- -q. Вычислим U --- разность потенциалов между сферами (тогда искомая емкость по определению будет равна q/U). Как известно, потенциал, создаваемый сферой вне этой самой сферы такой же, как и у точечного заряда, а внутри потенциал равен константе, такой же, как и на поверхности. Нас будет интересовать только область между сферами. В интересующей нас области потенциал от внешней сферы постоянен, а от внутренней потенциал на расстоянии R равен -k q/R. (здесь k --- постоянная в законе кулона. k = 1/(4 pi Epsilon Epsilon0)) Мы хотим сосчитать разность потенциалов на сферах U = ((-kq/R) при R=R2) - ((-kq/R) при R=R1) = kq/R1-kq/R2=kq(R2-R1)/R1 R2, откуда находим, что емкость конденсатора = q/U =(1/k)*R1 R2/(R2-R1). Если подставить k, то получится ваша формула

12) К диэлектрикам относят вещества, в которых нет свободных зарядов или их число настолько мало, что они не оказывают существенного влияния на их характеристики. Поведение диэлектрика в электрическом поле определяется поведением его молекул, которые делятся на полярные и неполярные

молекулы.

У полярных молекул (молекулы воды Н2О, соляной кислоты, аммиака и т.д.) в отсутствие электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают (рис.2.19), такие молекулы представляют собой диполи, которые характеризуются дипольным моментом p .

Для неполярных молекул (молекулы кислорода О2, водорода Н2, гелия Не и т.д.) в отсутствие электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают, поэтому дипольный момент молекулы p равен нулю. В электрическом поле неполярная молекула за счет смещения ее положительных и отрицательных зарядов приобретает

индуцированный дипольный момент Pинд (пропорциональный

вектору E электрического поля

p инд = α ⋅ ε 0 ⋅ E , (2.54)

где α – скалярная величина, называемая поляризуемостью молекулы.

ПОЛЯРИЗУЕМОСТЬ атомов, ионоз, молекул, - способность этих частиц приобретать дипольный момент p в электрич. поле. Появление m обусловлено смещением электронов (электронная П.) и атомных ядер (атомная П.) под действием поля; такой наведенный (индуцированный) дипольный момент исчезает при выключении поля. У полярных молекул,обладающих постоянным дипольным моментом в отсутствие поля, наведенный дипольный момент векторно складывается с постоянным.

Поляризация диэлектриков — явление, связанное с поляризацией связанных зарядов в диэлектрике и поворотом электрических диполей под воздействием внешнего электрического поля. Поляризацию диэлектриков характеризует вектор электрической поляризации.Физический смысл: поляризованность - это дипольный момент, который приобретают полярные молекулы, в единице объема диэлектрика.

Вектором поляризации называют электрический момент единицы объема диэлектрика. Он равен векторной сумме электрических моментов всех молекул, заключенных в единице объема. В изотропном диэлектрике вектор поляризации связан с вектором напряженности следующим образом:

P=aE,

где a получила название коэффициента эректризации или диэлектрической восприимчивости данного вещества.

Диэлектри́ческая восприи́мчивость вещества — физическая величина, мера способности вещества поляризоваться под действием электрического поля. Диэлектрическая восприимчивостьχ_e — коэффициент пропорциональности между поляризованностью P среды (дипольный момент единицы объёма) и напряженностью E внешнего электрического поля:

В системе СИ:

где   — электрическая постоянная.

В случае вакуума

У диэлектриков, как правило, диэлектрическая восприимчивость положительна.

В системе СИ диэлектрическая восприимчивость является безразмерной величиной.

13) Поле в диэлектрике является суперпозицией полей Eстор, (созданного зарядами, входящими в пределы диэлектрика но не в состав его молекул и расположенными за его пределами) и поле Есвяз (созд. Связанными зарядами). Получившееся поле называется микроскопическим или истинным. Емикро = Естор + Есвяз = Е0 + Е’

Где Е0 – усредненное поле сторонних зарядов; Е’ – усредненное поле связанных зарядов

Пусть Р- вектор поляризации,а р – электрический элемент одной молекулы, тогда

      (т.к.   – объем параллелепипеда).

      Приравняем и учтем, что    – проекция   на направление   – вектора нормали, тогда

      Поверхностная плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации в данной точке поверхности.

Если вектор поляризации P различен в разных точках объема диэлектрика, то в диэлектрике возникают объемные поляризационные заряды, объемная плотность которых  .

14)  Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике формулируется следующим образом: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов, т.е.        

теорема Гаусса - Остроградского для поля в диэлектрике, в дифференциальной форме выглядит так:    = dq/dV, [Кл / м ] (10)

ρ - объемная плотность свободных зарядов.

Вектор электрической индукции D (называемый также электрическим смещением) является суммой двух векторов различной природы: напряжённости электрического поля Е — главной характеристики этого поля — и поляризации Р, которая определяет электрическое состояние вещества в этом поле.

в системе СИ D=e₀E + P, (1¢)

где e₀ — размерная константа, называемая электрической постоянной или диэлектрической проницаемостью вакуума. Вектор поляризации Р представляет собой электрический дипольный момент единицы объёма вещества в поле Е,т. е. сумму электрических дипольных моментов p_i, отдельных молекул внутри малого объёма DV, деленную на величину этого объёма:

Диэлектрическая проницаемость,

 величина, характеризующая диэлектрические свойства среды — её реакцию на электрическое поле. В соотношении D = eЕ, где Е — напряжённость электрического поля, D— электрическая индукция в среде, Д. п. — коэффициент пропорциональности e. В большинстве диэлектриков при не очень сильных полях Д. п. не зависит от поля Е. В сильных электрических полях (сравнимых с внутриатомными полями), а в некоторых диэлектриках (например, сегнетоэлектриках) в обычных полях зависимость D от Е — нелинейная (см. Нелинейная оптика).

Величина Д. п. существенно зависит от типа вещества и от внешних условий (температуры, давления и т.п.). В переменных электрических полях Д. п. зависит от частоты поля Е (см. Диэлектрики)

15) Граничные условия для нормальных составляющих векторов D и E следуют из теоремы Гаусса. Выделим вблизи границы раздела замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к границе раздела, а основания находятся на равном расстоянии от границы (рис. 2.6).

Так как на границе раздела диэлектриков нет свободных зарядов, то, в соответствии с теоремой Гаусса, поток вектора электрической индукции через данную поверхность

.

Выделяя потоки через основания и боковую поверхность цилиндра

,

где   - значение   касательной составляющей усредненное по боковой поверхности  . Переходя к пределу при  (при   этом также стремится к нулю), получаем  , или окончательно для нормальных составляющих вектора электрической индукции

.

Для нормальных составляющих вектора напряженности поля получим

.

Таким образом, при переходе через границу раздела диэлектрических сред нормальная составляющая вектора   терпит разрыв, а нормальная составляющая вектора   непрерывна.

16) Энергия заряженного проводника. Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды dq, одинаковы и равны потенциалу  проводника. Заряд q, находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов dq. Тогда энергия заряженного проводника

Приняв во внимание определение емкости, можно записать 

Любое из этих выражений определяет энергию заряженного проводника.

Энергия заряженного конденсатора. Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q, равен  , а потенциал обкладки, на которой находится заряд -q, равен  . Энергия такой системы 

.

Энергию заряженного конденсатора можно представить в виде 

Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает

Частное U / d равно напряженности поля в зазоре; произведение S·d представляет собой объем V, занимаемый полем. Следовательно,