![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
1.6.3. Пример
□ Условия связи (дифференциальные) имеют вид
так
что
.
Матрица Якоби
имеет
ранг 2 (минор
).
Составляем функцию Лагранжа
,
составляем систему уравнений Эйлера
для вспомогательного функционала с
интегрантом
:
Присоединив
условия связи, получим систему уравнений
для отыскания неизвестных функций
:
Функции
и
сыграли свою роль для получения этой
системы. Больше они не нужны (важно лишь,
что они существуют). Поэтому исключим
их из системы: учитывая, что
получим систему
Отсюда находим
Используем краевые условия:
Отсюда
Нашли единственную экстремаль
.
Рассмотрим теперь изопериметрическую задачу.
1.6.4. Теорема (необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче).
Пусть функционал от вектор-функции
(6)
определенный
на множестве функций
где
,
удовлетворяющих краевым условиям
(7)
и интегральным условиям связи
(8)
где
заданные
числа (
не требуется), имеет в допустимой точке
экстремум.
Тогда
существуют такие числа
что функция
является экстремалью вспомогательного
функционала
интегрантом которого является функция Лагранжа
(числа
называются
множителями
Лагранжа).
□
Сведем изопериметрическую задачу к
задаче Лагранжа. Введем функции
,
и будем рассматривать функционал (6) как
функционал от
мерной
вектор-функции
(9)
(который
от
фактически не зависит), определенный
на множестве функций
где
(так как
функции
непрерывны по
,
то
непрерывны на
,
т.е. все
). Функции
удовлетворяют
краевым условиям
(10)
и условиям связи
т.е. дифференциальным условиям связи
(11)
где
Таким
образом, если функция
удовлетворяет краевым условиям (7) и
интегральным условиям связи (8), то
функция
удовлетворяет краевым условиям (10) и
дифференциальным условиям связи (11).
При этом, если при
функционал (6) имеет экстремальное
значение
,
то при
,
где
функционал (9) имеет экстремальное
значение (то же самое)
(так как функционал не содержит
).
Итак,
если
является решением изопериметрической
задачи (6)-(7)-(8), то
является решением задачи Лагранжа
(9)-(10)-(11) и можно применить теорему 1.6.1.
Матрица Якоби
имеет,
очевидно, ранг, равный
(числу условий связи), так как минор
-го
порядка
.
Условия теоремы 1.6.1 выполнены. Значит, функция
является экстремалью вспомогательного функционала с интегрантом
,
где
- множители Лагранжа. Это означает, что
функция
удовлетворяет системе уравнений Эйлера
Здесь
Кроме того,
.
Таким
образом, существуют постоянные числа
такие, что выполнены уравнения Эйлера
для функции Лагранжа
:
(после
подстановки
;
здесь
не участвуют). ■
1.6.5. Пример (Задача Дидоны). В IX веке до н.э. финикийская царевна Дидона со своими спутниками, спасаясь от преследования тирской знати, бежала из города Тира и высадилась на африканском берегу Средиземного моря. Решив поселиться здесь, Дидона упросила местных жителей отдать в ее распоряжение участок земли, который можно охватить шкурой быка. Простодушный правитель тех мест не понял подвоха и согласился отдать участок земли, который по его разумению, должен был по площади быть равным площади расправленной шкуры быка. Дидона же разрезала шкуру быка на тонкие полоски, связала их в длинный ремень и ограничила им довольно значительную территорию на берегу моря. Так был заложен город Карфаген (который впоследствии был разрушен римлянами).
Задача,
которую поставила Дидона, может быть
сформулирована следующим образом. Найти
такую гладкую кривую в верхней
полуплоскости, проходящую через точки
и
и имеющую данную длину
,
которая охватывала бы вместе с отрезком
максимальную площадь:
|
Функция
Лагранжа
|
Уравнение Эйлера
Экстремалями
являются окружности. Из краевых условий
находим:
,
,
и уравнение окружности имеет вид
.
|
Выразив
отсюда
|
окружности. Так как по смыслу задачи максимум есть, а экстремаль только одна, то дуга найденной окружности и будет точкой максимума.