- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
1.4.4. Пример.
□ Составляем систему уравнений Эйлера-Пуассона для
Общее решение:
.
Используем краевые условия:
Имеется единственная экстремаль . ■
1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
В простейшей задаче в качестве краевых условий, определяющих класс допустимых функций, берется условие закрепления концов.
Рассмотрим два примера вариационных задач с подвижными границами, ограничившись функционалом, содержащим одну функцию и первую производную.
Задача с подвижными концами.
Это – задача заданные числа,.
Краевые условия не заданы, т.е. не заданы. С геометрической точки зрения такая задача состоит в определении кривой – графика функции, концы которого расположены на вертикальных прямыхи для которой соответствующее значение |
функционала является экстремальным. Эту задачу называют задачей сподвижными концами.
Для допустимой вариации аргументаусловиетеперь не требуется, так что допустимыми вариациями аргумента являютсялюбые функции .
1.5.1. Теорема. (Необходимое условие экстремума в задаче с подвижными концами).
Если допустимая функция доставляет экстремум функционалу в задаче с подвижными концами, то эта функция удовлетворяет уравнению Эйлера, и, кроме того, так называемым естественным краевым условиям
.
□ Как и в теореме 1.4.1, для упрощения доказательства добавим условие: функция , доставляющая экстремум функционалу, дважды непрерывно дифференцируема:вместо(это используется при интегрировании по частям. Но теорема верна и без этого дополнительного условия).
Согласно теореме 1.2.11 вариация равна нулю при всех допустимых, в нашем случае – при всех, так что
(*теорема 1.3.1*).
Интегрируя по частям второе слагаемое, получаем
=. Значит,
.
Это равенство верно при любой функции , в частности для функции , у которой, и тем более для любой такой бесконечно дифференцируемой функции:
.
Но по лемме Лагранжа 1.1.2 на, т.е. функцияудовлетворяет уравнению Эйлера. Значит, остается равенство
,
справедливое при любой функции . В частности, оно верно для функции , у которой:
,
а также для функции , у которой:
. ■
Можно рассматривать и «смешанную» задачу, в которой один из концов закреплен, а другой конец свободно перемещается по вертикальной прямой. Например, (задано), а правый конец перемещается по прямой. Это дает естественное краевое условие
.
1.5.2. Пример (левый конец закреплен, правый подвижен).
□ Уравнение Эйлера: - линейное ДУ 2-го |
порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Его общее решение: . Из краевого условиянаходим. На правом конце естественное краевое условие имеет вид
Имеется единственная экстремаль .■
Задача с подвижными границами.
Рассмотрим функционал , определенный
на непрерывно дифференцируемых функциях , у которых концы графиков лежат на кривыхи(и- тоже непрерывно дифференцируемые функции).
Например, если функция такова, что , то для нее функционал вычисляется по формуле |
|
, а если , то по формуле. Имеется в виду, что каждая допустимая функция непрерывна на своем отрезке, содержащемся в отрезке. Таким образом, пределы интеграла меняются от функции к функции.
Требуется найти экстремум такого функционала. Соответствующую теорему сформулируем без доказательства (доказательство сложное).
1.5.3. Теорема (Необходимое условие экстремума в задаче с подвижными границами).
Если допустимая функция доставляет экстремум функционалу
(1)
при краевых условиях , то эта функцияявляется экстремалью функционала (1) (т.е. удовлетворяет уравнению Эйлера для его интегранта) и удовлетворяетусловиям трансверсальности
(2)
(Эти условия учитывают то, что концы кривой лежат на заданных кривыхи).
Таким образом, для решения этой задачи нужно:
Найти общее решение уравнения Эйлера (оно 2-го порядка, поэтому две произвольные постоянныеи).
Из краевых условий и из условий трансверсальности (2) определить постоянныеи неизвестные концы.
Вычислить экстремум функционала (если есть уверенность, что найденная функция действительно дает экстремум).
Можно рассматривать и «смешанную» задачу, в которой один из концов закреплен или перемещается по вертикали, а второй конец перемещается по графику какой-либо функции .
1.5.4. Пример. Найти кратчайшее расстояние между кривыми и.
□ Задача состоит в нахождении минимума функционала (длина кривой ) при краевых условиях, где.
Составим уравнение Эйлера: Его общее решение (прямая). Для нахожденияиспользуем краевые условия:, |
и условия трансверсальности:
Из системы уравнений
находим .
Экстремаль:. Она единственная, а по смыслу задачи минимум имеется. Значит функцияи доставляет экстремум функционалу. Найдем минимальное расстояние:
. ■