![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
2.3. Примеры синтеза оптимального управления
Задача
1. Пусть
материальная точка с массой
движется по инерции вдоль прямой. Нужно
быстрейшим образом остановить движение
этой точки в заданном месте, которое мы
примем за начало координат, с помощью
ограниченной по величине силы.
Пусть
координата
точки в момент времени
.
Управление движением начинается в
момент времени
в точке
со скоростью
и должно закончиться за наименьшее
время
в точке
со скоростью
.
Управлением
является сила, ограниченная по величине:
,
так что область управления
.
Крайние значения
и
означают включение двигателя на полную
мощность в отрицательном и положительном
направлениях оси
соответственно. При движении в
положительном направлении оси
скорость положительна:
,
а при движении в отрицательном направлении-
отрицательна:
.
Для
простоты вычислений будем считать, что
масса
ед.
Ускорение
движения
создается управлением (силой)
,
и по второму закону Ньютона имеем
уравнение движения
(1)
с
краевыми условиями
Сведение задачи 1 к нормальной линейной системе
дифференциальных уравнений. Проверка управляемости.
Введем
новые неизвестные функции
и
:
,
.
Тогда уравнение движения (1) (уравнение
2-го порядка) сведется к нормальной
линейной системе двух дифференциальных
уравнений
с
краевыми условиями
.
Так
как
,
то
,
а
так как
то
(
скалярная
функция:
).
Таким образом, имеем стационарную линейную задачу оптимального быстродействия
(2)
Фазовое
ограничение отсутствует: допустимые
фазовые состояния
заполняют всю плоскость:
На фазовой плоскости первая координата
точки
означает координату движущейся точки
на оси
,
вторая координата
скорость
точки.
По
критерию Калмана 8.1 проверим управляемость
задачи (2) (здесь
):
,
задача управляема.
Нахождение оптимального управления и оптимальных
траекторий без краевых условий. Линия переключения.
Составим сопряженную систему
.
Ее
общее решение
т.е.
,
где
произвольный
постоянный вектор.
Составим функцию Понтрягина:
.
Пусть
фиксировано. Если
,
то среди всех допустимых значений
максимальное значение функции Понтрягина
доставляет знчение
.
Если
,
то функция
получает максимальное значение при
.
Таким образом, при всех
(за исключением значения
,
при котором
)
функция управления
,
доставляющая максимум функции Понтрягина,
принимает только два значения
и
.
Отметим,
что условие 2 принципа Понтрягина при
таком выборе значений
автоматически выполняется:
(за
исключением одного значения
,
при котором
).
Согласно
принципу максимума Понтрягина, оптимальные
траектории можно получить только при
значениях
.
Пусть
.
Тогда система (2) имеет вид
.
Ее общее решение
(3)
где
произвольные
постоянные (их обозначили
в отличие от постоянных
и
в решении сопряженной системы. Кроме
того, вместо
записали
,
так как
тоже произвольная постоянная, как и
).
Это – семейство оптимальных фазовых
траекторий под управлением
.
Исключая время
,
получим
семейство парабол.
Из
уравнения
|
|
Пусть
.
Тогда система (2) имеет вид
.
Её общее решение:
(4)
Это
– семейство оптимальных фазовых
траекторий под управлением
.
Исключая
,
получаем
семейство парабол.
Из
уравнения
|
|
Семейства оптимальных траекторий (3) и (4) получены без учета краевых условий. Пока о роли этих семейств можно сказать следующее:
Если
точки
и
лежат на одной из парабол, то именно
кусок этой параболы, соединяющий точки
и
,
является оптимальной траекторией (при
совпадении направления): объект перейдет
из фазового состояния
в фазовое состояние
за кратчайшее время именно по этой
траектории.
Движение
фазовой точки
|
|
по
нижней части параболы семейства (4) при
:
.
Линия
,
составленная из кусков парабол семейств
(3) и (4), входящих в начало координат,
называетсялинией
переключения.
Синтез оптимальной траектории.
|
Пусть
точка
|
Поэтому
надо начать движение по параболе
семейства (3), которая проходит через
точкув момент
.
В
некоторый момент
попадем в точку
,
где эта парабола пересекается с линией
переключения. Затем, двигаясь с момента
из точки
по линии переключения, в момент
попадем в точку
.
Полученная траектория и будет оптимальной.
В самом деле, проверим выполнение теоремы
2.2.4. При
,
т.е.
,
выбрано управление
,
а при
,
т.е.
,
выбрано управле-
ние
.
Значит, на отрезке
при постоянном векторе
значения
выбраны так, что при каждом фиксированном
,
кроме
,
значение функции Понтрягина
максимальное
среди значений, принимаемых этой функцией
при всех
.
выполняется автоматически, как отмечалось раньше.
Условия
теоремы 2.2.4 выполнены. Поэтому, согласно
принципу максимума Понтрягина, построенная
траектория является оптимальной в
смысле быстродействия, а соответствующее
управление
является
оптимальным.
|
Аналогично
строится оптимальное управление и
оптимальная траектория в случае, когда
точка
|