![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
Если функционал от вектор - функции
определенный
на множестве функций
где
удовлетворяющих краевым условиям(2):
,
,
имеет
в допустимой точке
экстремум, то эта вектор-функция
удовлетворяет системедифференциальных
уравнений Эйлера-Пуассона:
(3)
□ Сначала докажем для функционала от одной функции
причем
при
для
,
определенного на множестве функций
удовлетворяющих краевым условиям
Допустимыми
вариациями являются функции
такие, что
(при
доказательство аналогично). Для упрощения
доказательства добавим условие: функция
,
доставляющая экстремум функционалу,
четырежды непрерывно дифференцируема,
т.е.
вместо
(теорема верна и без этого условия).
Согласно
теореме 1.2.11, в точке локального экстремума
при любой
допустимой
вариации
аргумента вариация функционала равна
нулю:
.
Согласно теореме 1.3.1,
.
Значит,
при любой функции
,
удовлетворяющей условиям
выполняется равенство
.
Второй и третий интегралы возьмем по частям:
так
как
так
как
Таким
образом, при любой допустимой функции
(4)
Здесь
содержит
,
и при двукратном дифференцировании по
в слагаемом
появляется
;
для непрерывности этого слагаемого
достаточно, чтобы
была непрерывна. Именно здесь используется
дополнительное условие
.
Итак,
подынтегральная функция
непрерывна на отрезке
,
и при любой функции
такой, что
,
выполняется равенство (4). Тем более оно
выполняется при любой функции
,
бесконечно дифференцируемой на
и такой, что
(так как если
бесконечно дифференцируема, то производная
любого порядка
непрерывна:
,
в частности,
).
Но это означает выполнение условий
леммы Лагранжа 1.1.2. Согласно этой лемме,
на
.
Таким образом, для функционала от одной
функции доказано, что точка экстремума
удовлетворяет на отрезке
уравнению Эйлера-Пуассона:
.
(5)
Согласно
теореме 1.2.11 у функционала от вектор –
функции
в точке экстремума
вариация по каждому аргументу
(при фиксированных остальных аргументах
)
обращается в нуль при любой вариации
аргумента
:
.
Поэтому, рассматривая функционал
как функционал от одной функции
,
получаем, что функция
удовлетворяет на
уравнению (5):
.
Это
верно при каждом
так что вектор- функция
удовлетворяет на
системе уравнений (3) ■
1.4.2.
Определение. Вектор-функция
,
удовлетворяющая системе уравнений
Эйлера-Пуассона, называетсяэкстремалью
функционала
.
В
случае функционала от одной функции
экстремалью является одна числовая
функция числовой переменной.
Замечание. Уравнения Эйлера-Пуассона в случае, когда функционал содержит только производные первого порядка, называют уравнениями Эйлера.
1.4.3. Пример.
Среди
гладких линий, соединяющих данные
точки
□ Площадь
поверхности вращения равна
|
|
Имеем
простейшую вариационную задачу в
пространстве
Множитель
не влияет на наличие экстремума, поэтому
будем считать, что интегрант
.
Составим уравнение Эйлера:
Уравнение
не содержит
.
С помощью замены переменной
находим общее решение
.
Покажем,
что если
,
то
.
В самом деле,
Поэтому
Мы нашли семейство экстремалей, зависящее
от двух параметров
и
.
Для нахождения конкретных значений
постоянных
и
используем краевые условия:
.
Это
– система трансцендентных уравнений
с неизвестными
и
(решается только численным методом,
т.е. приближенно).
Экстремаль
есть цепная
линия (на
рисунке – штриховая линия). Она получена
из простейшей цепной линии
сжатием-растяжением и сдвигом (свободно
провисающая бельевая веревка имеет
форму цепной линии).■