![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
2.3.1. Пример
(В
момент
точка проходит через положение
влево со скоростью
.
Нужно остановить ее в положении
).
Пусть
.
Решаем систему
(5)
Это
– семейство парабол
.
Пусть
,
(6)
Линия переключения
Находим
закон движения из точки
|
|
полагая
,
находим
;
Закон движения
.
(7)
Это
движение происходит по параболе
.
Найдем точку
пересечения с линией переключения.
Пересечение происходит при
.
Поэтому
решаем систему уравнений
.
Находим
момент
попадания в эту точку
,
используя закон движения (7):
.
Находим
закон движения из точки
с момента
по линии переключения, полагая в (5)
:
:
.
Закон движения
.
Наконец,
находим момент
попадания в начало координат
:
.
Итак, оптимальная траектория
Оптимальное уравнение
|
|
Судя по изображенной фазовой траектории, управление движением происходило так:
В
момент
точка проходила положение
со скоростью
двигаясь влево. Чтобы остановить ее,
включили двигатель на полную мощность
(по оси
).
Точка остановилась в положении
с нулевой скоростью. Под тем же управлением
точка двигалась до положения
,
где имела уже положительную скорость
к
моменту
В этот момент, чтобы точка, набирая
положительную скорость, не перескочила
начало координат, управление переключили
на
.
Это управление затормозило точку и к
моменту
остановило ее в начале координат.
2.3.2. Пример.
Положим
в примере 2.3.1
Тогда точка
находится на линии переключения. Закон
движения из этой
точки
с момента
Находим
момент
попадания в точку
Оптимальная траектория
.
Оптимальное управление
.
Задача
2. Математический
маятник – груз
малых размеров с массой
на невесомом стержне
длиной
находится вблизи верхнего (неустойчивого)
положения равновесия. Требуется под
действием ограниченной по величине
силы, направленной перпендикулярно к
оси маятника, за кратчайшее время
привести маятник к положению равновесия
с нулевой скоростью (трением пренебрегаем).
Обозначим
угол отклонения маятника от положения
равновесия в момент времени
,
отсчитываемый в направлении против
часовой стрелки.
|
Управление
движением начинается в момент времени
|
Управлением
является сила
,
крайние значения
и
означают включение двигателя на полную
мощность в положительном и отрицательном
направлении отклонения соответственно.
Составим
уравнение движения маятника. Движение
маятника по окружности происходит под
действием силы
(составляющая силы тяжести в направлении
касательной) и управления
с линейным ускорением
.
По второму закону Ньютона
Это
– нелинейное (из-за
)
дифференциальное уравнение второго
порядка с неизвестной функцией
.
Ограничиваясь положениями маятника,
достаточно близкими к положению
равновесия, мы можем заменить
на
(так как
при малых
).
Получим линейное дифференциальное
уравнение второго порядка
.
Для
упрощения вычислений будем считать,
что
.
Как
и в задаче 1, перейдем к нормальной
системе заменой
.
Получим линейную стационарную задачу
оптимального быстродействия
(1)
или
где
.
Кроме
ограничения на управление
,
в этой задаче имеется фазовое ограничение
,
где
некоторое множество на фазовой плоскости
.
(например, первая координата
ограничена некоторым отрезком
,
в пределах которого считаем
).
Пользуясь критерием Калмана, проверим управляемость задачи (1) (в пределах фазового ограничения):
задача
управляема.
Нахождение оптимального управления и оптимальных траекторий без краевых условий. Линия переключения.