![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
III. Примеры решения задач.
ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ
3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
Пример
1.
.
□
(Считаем
как функцию трех переменных)
а)
;
б)
;
в)
.
Составляем уравнение Эйлера
.
Интегрируем дважды:
экстремали
(множество кривых).
Используя краевые условия, находим
.
Единственная
экстремаль
.■
Пример
2.
.
□ Уравнение
Эйлера
или,
с учетом
.
Используем краевые условия:
Единственная
экстремаль
.■
Пример
3.
.
□
,
.
Уравнение Эйлера – Пуассона:
.
Характеристическое уравнение
имеет
корни
.
Тогда получаем экстремаль функционала
.■
Пример 4.
□.
Уравнение Эйлера-Пуассона
т.е.
тогда
,
.
Для нахождения коэффициентов используем граничные условия:
Получаем единственную экстремаль
.■
Пример
5.
.
.
□
.
Уравнение
Эйлера-Пуассона:
,
,
тогда
уравнение имеет вид
,
Используем граничные условия:
Единственная
экстремаль
.
■
Пример
6.
□
,
.
Получаем систему уравнений Эйлера
Из
второго уравнения находим
и подставим в первое:
Получили
экстремаль
данного функционала. ■
Пример
7.
,
,
,
.
□,
,
,
,
,
,
.
Система
уравнений Эйлера имеет вид:
Рассмотрим
второе уравнение
,
тогда
,
аналогично
.
Для определения констант используем граничные условия
откуда
.
откуда
.
Получаем
.
■
Пример 8. Найти экстремали функционала
,
,
(т.е.
).
□ Составим функцию Лагранжа:
.
.
.
Система уравнений Эйлера имеет вид:
складываем
эти уравнения:
откуда
из граничных условий найдем
.
Тогда
.
Добавляем уравнения связи
откуда
.■
Пример
9.
,
.
–уравнение
связи.
□
.
.
.
Составляем систему
вычитаем:
,
,
обозначим
тогда
т.е.
.
Используя
граничные условия найдем
и
:
добавляем
уравнение связи:
.
Отсюда
находим
.
■
Пример
10.
,
,
.
□ Функция
Лагранжа
.
Система уравнений Эйлера:
Дифференцируем
по
второе и третье уравнения:
Подставляем второе уравнение в первое:
,
,
,
,
,
.
Из
уравнения связи
.
Из граничных условий получаем систему:
Ответ:
■
Пример
11.
.
.
□
.
Складываем первое и второе уравнения:
Из граничных условий получаем систему
Добавляем уравнение связи
,
.
■
Пример 12.
□
.
Уравнение
Эйлера
.
.
Определим
.
Так
как
то
.
Тогда
.
Постоянные найдем из граничных условий:
Ответ:
.
■
Пример
13.
.
□
.
1)
Уравнение Эйлера:
.
.
2) Определим множитель Лагранжа:
,
тогда
3) Общее решение уравнения Эйлера
.
4)
Постоянные
и
найдем из граничных условий
.
Ответ:
Два решения
.■
Пример
14.
.
□ 1) Уравнения
Эйлера
2) Определим
и
:
откуда
,
,
тогда
.
3) Решение уравнений Эйлера
4) Найдем постоянные
Ответ:.
■
3.2. Задачи для самостоятельного решения
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
7.
8.
,
,
.
9.
,
10.
11.
при условии
12.
при
условии
13.
14.
15.
16.
17.
18.
3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
исчисления»
Задача 1.
а)
Вычислить функционал
для заданных функций
и
.
б)
Написать уравнение Эйлера для функций
.
N |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
2 |
3 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
0 |
|
10 |
|
|
|
1 |
2 |
11 |
|
|
|
1 |
2 |
12 |
|
|
|
1 |
2 |
13 |
|
|
|
0 |
1 |
14 |
|
|
|
0 |
1 |
15 |
|
|
|
1 |
2 |
16 |
|
|
|
0 |
1 |
17 |
|
|
|
1 |
2 |
18 |
|
|
|
0 |
|
19 |
|
|
|
1 |
2 |
20 |
|
|
|
1 |
2 |
21 |
|
|
|
1 |
2 |
22 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
1 |
2 |
24 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
0 |
1 |
Задача 2.
Найти экстремали функционала
Где
номер
по списку.
Задача 3.
Найти экстремали, с заданным уравнением связи
номер
по списку.