![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
Сопряженная система
имеет общее решение
где
– постоянный вектор. Функция Понтрягина
имеет вид
При
фиксированном
,
если
или
,
то функция Понтрягина имеет максимальное
значение, если взять
или
соответственно. Таким образом, функция
управления
,
доставляющая максимум функции Понтрягина,
имеет только два значения
и
,
и переключение этих значений происходит
в единственной точке
,
в которой
.
При
таком выборе функции
будет автоматически
при всех
,
кроме упомянутого исключительного
значения.
Найдем
фазовые траектории под управлениями
и
.
При
система (1) имеет вид
(2)
Ее общее решение
(3)
где
- произвольные постоянные. Исключив
отсюда
,
получим
|
|
Аналогично
при
из системы
получаем
(4)
семейство
равнобочных гипербол
|
|
Движение
фазовой точки
к пункту назначения
происходит слева направо по верхней
части левой ветви гиперболы семейства
(3) с уравнением
(5)
и
справа налево по нижней части правой
ветви гиперболы семейства (4) с уравнением
.
(6)
Линия переключения имеет уравнения
(7)
Построение оптимальной траектории при данных краевых условиях.
Как
и в задаче 1, оптимальная траектория
будет состоять из куска одной из гипербол
семейства (3) и (4) и куска линии переключения.
Из рисунка видно, что если точка
находится в полосе между прямыми
и
,
то оптимальная траектория
|
найдется.
Если же точка находится вне этой полосы
или на одной из прямых
|
Пусть,
например, точка
содержится в этой полосе левее линии
переключения в верхней полуплоскости.
|
Тогда
по одной из гипербол семейства (4) под
управлением
|
Действительно,
при
,
т.е.
где
,
использовано управление
,
а при
,
т.е.
,
использовано управление
.
Это значит, что при постоянном векторе
при всех
(кроме
)
управление
выбрано так, что функция Понтрягина
имеет максимальное значение – выполняется
п.1) принципа максимума Понтрягина. Как
было отмечено раньше, п.2) выполняется
автоматически:
.
|
Оптимальное управление имеет вид
Аналогично
определяются оптимальное управление
и оптимальная траектория при других
расположениях точки
|
2.3.3. Пример.
|
|
До
линии переключения дойдем по гиперболе
семейства (3), проходящей через эту точку,
под управлением
.
Найдем закон движения по такой гиперболе
с момента
из точки
:
Закон движения имеет вид:
Гипербола имеет уравнение:
.
Найдем
точку её пересечения с линией переключения
(7) (у нас
)
Найдем
момент
попадания в эту точку:
.
Теперь
найдем закон движения из точки
с момента
по линии переключения – гиперболе
семейства (4):
Закон движения имеет вид:
Найдем
момент
попадания в точку назначения
(достаточно воспользоваться вторым
равенством):
.
Итак, оптимальная траектория имеет вид:
где
оптимальное
уравнение
Судя по фазовой траектории на последнем рисунке, управление движением маятника происходит так:
В
момент
,
когда включили управление, маятник был
отклонен от положения равновесия на
угол 0,2 радиан влево и продолжал
отклоняться влево со скоростью 1 ед.
Чтобы замедлить и остано-
вить
его отклонение влево, включили двигатель
на полную мощность
в направлении вправо. Маятник был
остановлен (скорость
)
при некотором положительном отклонении
(слева от положения равновесия). Это –
фазовое состояние
.
Под тем же управлением
маятник стал приближаться назад к
положению равновесия (уже с отрицательной
скоростью
).
Чтобы маятник не перескочил через
положение равновесия, в момент
управление было переключено на
(для замедления маятника). Это – фазовое
состояние
.
После этого маятник пришел в положение
равновесия со скоростью
(в момент
).