![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
- •Учебное пособие
- •I. Элементы вариационного исчисления
- •1.1. Введение и вспомогательные утверждения
- •1.1.1. Пример.
- •1.1.2. Лемма Лагранжа
- •1.2. Основные понятия
- •Число обладает свойствами:
- •Величина, определенная равенством , является нормой.
- •1.2.5. Замечание.
- •1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
- •1.4. Простейшая вариационная задача
- •Если функционал от вектор - функции
- •1.4.3. Пример.
- •1.4.4. Пример.
- •1.5. Вариационная задача с подвижными границами.
- •1.6. Вариационные задачи на условный экстремум
- •Пусть требуется найти экстремум функционала
- •1.6.3. Пример
- •1.6.6. Пример.
- •II. Элементы оптимального управления
- •2.1. Постановка задачи оптимального управления
- •2.2. Линейная стационарная задача
- •2.2.2. Определение.
- •2.2.3. Определение.
- •2.3. Примеры синтеза оптимального управления
- •Составим сопряженную систему
- •2.3.1. Пример
- •2.3.2. Пример.
- •Сопряженная система
- •2.3.3. Пример.
- •III. Примеры решения задач.
- •3.1. Простейшие задачи вариационного исчисления
- •3.2. Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Варианты заданий: «Простейшие задачи вариационного
- •3.4. Задачи с подвижными границами
- •Задача 1.
- •Условие трансверсальности
- •3.5. Варианты заданий: «Задачи с подвижными границами»
- •3.6. Варианты заданий: «Задачи по оптимальному управлению»
1.3. Вычисление вариации интегрального функционала.
Мы будем рассматривать экстремумы только интегральных функционалов, когда значения функционалов вычисляются с помощью определенного интеграла:
Подынтегральную
функцию называют интегрантом
функционала. Это сложная функция с
промежуточными аргументами
которые являются функциями от
Так
как мы рассматриваем функции
,
то все функции
непрерывны на
.
Будем предполагать в дальнейшем, что
функция
непрерывна при всех
и любых
.
Тогда интегрант как сложная функция от
непрерывна на
и потому интеграл существует. Более
того, будем предполагать, что функция
имеет непрерывные частные производные
нужных порядков по всем аргументам
при
и любых
.
Это обеспечит законность предстоящих
вычислений.
Достаточно вычислить вариацию функционала от одной функции
(1)
(В
п. 1.1 имели пример такого функционала с
интегрантом
),
так как вариация функционала от
вектор-функции
по аргументу
вычисляется при фиксированных значениях
остальных аргументов, т.е. как вариация
функционала от одной функции
.
1.3.1. Теорема (о вариации интегрального функционала)
Пусть
- некоторое множество допустимых функций.
Вариация функционала (1) в точке
при любой допустимой вариации
аргумента существует и равна
(2)
□ Докажем
при
(при
доказательство аналогично). В этом
случае
.
Как было отмечено выше, интеграл при
существует. Надо найти
,
где
.
Имеем
где
.
Ввиду непрерывности
и непрерывности функций
сложная функция
непрерывна при
и любых
,
т.е. в прямоугольнике (бесконечной длины)
.
Частная производная
также
непрерывна в этом прямоугольнике ввиду
непрерывности частных производных
и непрерывности функций
.
Поэтому можно согласно теореме Лейбница
(1.1.2) дифференцировать по
под знаком интеграла:
.
Отсюда
■
1.4. Простейшая вариационная задача
(с закрепленными границами)
Простейшая вариационная задача для функционала для одной функции с первой производной состоит в следующем:
Среди
всех функций
,
удовлетворяющихкраевым
условиям
(
заданные
числа), (1)
найти ту функцию, которая доставляет экстремум функционалу
.
В
этой задаче допустимые функции – все
функции
,
удовлетворяющие краевым условиям (1).
При вычислении вариации рассматривается
,
поэтому функция
тоже должна быть допустимой:
,
.
Для этого допустимая вариация
должна быть тоже непрерывно дифференцируемой:
,
причем такой, чтобы
(тогда
).
Для
функционала с одной функцией и с
производными до
го
порядка простейшая задача такова:
Среди
всех функций
,
удовлетворяющихкраевым
условиям
,
найти ту функцию, которая доставляет
экстремум функционалу
.
В
этой задаче допустимыми вариациями
являются функции
,
удовлетворяющие краевым условиям
(так
как, например, должно быть
а для этого надо, чтобы
).
Для
функционала с
функциями и производными до
го
порядка простейшая задача имеет вид:
Среди
всех
–
мерных вектор - функций
с координатами
,
удовлетворяющихкраевым
условиям
(2)
(- заданные числа) найти ту вектор-функцию,
которая доставляет экстремум функционалу
В
этой задаче допустимыми вариациями
аргументов
являются функции
,
удовлетворяющие краевым условиям
1.4.1. Теорема (необходимое условие экстремума в простейшей задаче в терминах интегранта)