Величина, определенная равенством , является нормой.

□ Проверим свойства нормы (1.2.1).

1. Очевидно, что , так что. Очевидно также, что.

2. При равенствоочевидно, так как и . Пусть. Тогда

и, в частности, , т.е.. (1)

Обратно, по доказанному, для. (2)

Из неравенств (1) и (2) получаем .

3)

и, в частности, , т.е..■

Таким образом, пространство с нормойявляется нормированным пространством. Расстоянием между точкамии этого пространства является число – максимальное расстояние по вертикали между графиками функцийи.

Элементы пространства непрерывно дифференцируемые, т.е.гладкие функции. Функция в каждой точкеимеет невертикальную касательную с угловым коэффициентом, которая ввиду непрерывностинепрерывно (без скачков) меняет свое положение при движении вдоль графика. Поэтому элементыэтого пространства естественно считать близкими, если не только мало расстояние по вертикали между их графиками, но еще мало отличаются их касательные на всем, т.е. разностьмала. Поэтому расстояниемследует считать число

(тоже существует, т.к. функция непрерывна на отрезке ). Следовательно, нормой элемента(т.е. расстоянием до) следует считать число. Вообще,.

1.2.5. Замечание.

Очевидно, что .

1.2.6. Теорема (о норме )

Величина, определенная равенством , является нормой.

□ Докажем для (длядоказательство аналогично).

Проверим свойства нормы (1.2.1) учитывая, что для они проверены.

1. Пусть , т.е.. Тогда хотя бы одно из чиселибольше нуля. Если, то по теореме 1.2.4 (1). Если, то по той же теореме, т.е.. Таким образом, в любом случае.

Пусть обратно, . Тогда по теореме 1.2.4 (1), значит,.

Доказано, что . Далееочевидно.

2. При равенствоочевидно: и . Пусть. Тогдато по теореме 1.2.4 (2) , , а согласно замечанию1.2.5 . Поэтому и . Значит, и

, т.е. . (3)

Обратно, по доказанному для . (4)

Из неравенств (3) и (4) получаем .

3. По теореме 1.2.4 (3) ,, а согласно замечанию 1.2.5и. Поэтомуи, значит,, т.е.

. ■

Таким образом, пространство с нормойявляется нормированным пространством.

Расстоянием между точками является число

.

Замечание. Функции, близкие по норме пространства , могут сильно отличаться по норме пространства . Например, функциииобе принадлежат

и пространству и пространству(при любых(возьмем)). По норме:

. По норме .

Но , так что. С возрастаниемфункция становится сколь угодно близкой к функции по норме, т.к., тогда как всегда отстоит от неё на расстояние по норме.

1.2.7. Определение. окрестностьюточкипространства называется множество точек (т.е. функций) , удовлетворяющих неравенству

т.е. отстоящих от меньше чем на .

в пространстве означает, что график функциинаходится между кривыми

и . В пространствеэтого недостаточно: надо ещё, чтобы изгибы кривоймало отличались от изгибов кривой.

1.2.8. Определение. Пусть множество каких – либо функций. Отображение, сопоставляющее каждой функцииопределенное число, называетсяфункционалом, определенным на множестве функций .

Отображение , сопоставляющее каждому набору изфункций(т.е. вектор – функции) определенное число ) называетсяфункционалом, определенным на множестве наборов функций из (на множестве вектор – функций).

В п. 1.1 был рассмотрен пример функционала , определенного в пространстве. Еще примеры:

Пусть

Тогда

Пусть

Тогда

1.2.9. Определение. Говорят, что функционал

определенный на множестве допустимых вектор – функцийс координатными функциями, имеет в точкелокальный максимум (минимум), если для всех , достаточно близких к, выполняется неравенство

, т.е. существует такое, что

Для исследования функционала на экстремум введем понятие, аналогичное понятию производной числовой функции числовой переменной.

Пусть функционал определен на некотором множестве допустимых функций, ификсированные допустимые функции. Рассмотрим числовую функцию числовой переменной(в предположении, что при любомфункцияостается допустимой функцией:). Приращение аргументаи простоназываютвариацией аргумента.

1.2.10. Определение. Если существует производная функции в точке , то она называется первой вариацией функционала в точкепри данной вариацииаргумента, и обозначается :

(заметим, что в числителе стоит приращение функционала в точке, вызванное приращением (вариацией) аргумента. Приэто приращение аргумента стремится к нулю:=| по определению 1.2.1|=, так как ).

Для функционала от функций (отмерной вектор – функции)производная функциив точкеявляетсяпервой вариацией функционала в точкепо аргументупри данной вариацииэтого аргумента:

.

1.2.11. Теорема (необходимое условие локального экстремума функционала в терминах первой вариации).

Пусть функционал , определенный на множестведопустимых вектор–функцийс координатамиимеет в точкелокальный экстремум. Если в этой точке функционал имеет первую вариацию по аргументупри какой-либо вариацииэтого аргумента, то эта первая вариация равна нулю:

.

□ Пусть, например точка минимума: существуеттакое, что

. Возьмем точку

. Для нее . При достаточно маломбудет, так как, где. Поэтому имеем

,

т.е. , или.

Таким образом, при всех достаточно малых выполняется неравенство. Это означает, что функция

имеет минимум в точке . По условию, при данной вариациисуществует первая вариация по аргументу, т.е. существует. Но, по теореме Ферма, если в точке локального экстремума числовая функция числового аргумента имеет производную, то она равна нулю:.

Следовательно, . ■

Замечание. Если найдена вектор – функция в которой первые вариации функционалаобращаются в нуль, то это ещё не значит, что в точкефункционал действительно имеет экстремум: ведь это необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума функционала сложны, их не будем рассматривать. Но если по смыслу задачи экстремум есть, а найдена только одна вектор – функция, в которой первые вариации обращаются в нуль (“критическая точка”), то в точкеобязан быть экстремум.

В достаточных условиях экстремума используется понятие второй вариации функционала, которое мы не будем рассматривать. Поэтому в дальнейшем вместо “первая вариация” будем говорить просто “вариация”.