18А.Гипербола, ее характеристики, геометрические свойства

Г.—это геометрическое место точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная ( и равна 2а).

Пусть М(х;у) произвольная точка гиперболы, тогда согласно определнию:

= 2а ... с²-а²=в²

--- каноническое уравнение Г.

а—действительная полуось, 2а—ось; в—мнимая полуось, 2в—ось.

F₁(-c;0), F₂(c;0) -- фокусы Г. -- эксцентриситет Г. .

--директрисы Г. --асимптоты Г. с²=а²+в²

--Г. ориентированная по оси Оу. х²-у²=а² –уравнение равносторонней Г.

18Б. Где идут буквы с нулями-это значит,например x0,только в уменьшенном варианте где s,n-это вектора ,сверху палочку подрисуйте¯; √- этот корень всегда доводите до конца выражения

Парабола и ее геометрические свойства

Параболой наз.геометрическое место точек плоскости,для к-х расстояние от заданной точки (F) до заданной прямой директрисы есть величина постоянная.

Исходя из определения расстояние от точки M до директрисы MK=MF,где MF=(x-p/2)²+y²=MK=x+p/2

x²-px+p²/4+y²-x²-px-p²/4=0

y²=2px -Каноническое уравнение параболы,ориентированной вдоль Оx,где p>0

аналагично получено x²=2py вдоль Оy

F (p/2;0)-в первом случае x=-p/2;

F(0;p/2)-во 2-ом случае y=-p/2;

Для эллипса эксцентриситет 0<E<1;

Для гиперболы E>1

Для параболы E=1;

19. Уравнение плоскости в пространстве. Условия параллельности и перепендикулярности двух плоскостей.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно заданному вектору.Плоскость с нормальным вектором N={A, B, C}, проходящая через точку M0(x0, y0, z0):

A( x - x0) + B( y - y0) + C( z - z0) = 0.

Общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоск прох через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендикулярности

A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие параллельности 2х плоскостей.

A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- Условие совпадения 2х плоскостей.

20.Пр линия в пр-ве.Параметрич ур-е прям.Канонич ур-е пр

1-это точка M0(x0,y0,z0)

2-это точка M(x,y,z)

вектор M0M=(x-x0;y-y0;z-z0)

векторы M0M//S

(x-x0)/k=(y-y0)/e=(t-t0)/m это каноническое

Введем параметр t Є R и положим (x-x0)/k=(y-y0)/e=(z-z0)/m=t, t Є R

x=x0+kt

y=y0+et это все параметрич ур-я прямой в пр-ве

z=z0+mt

Ур-я вида

A1x+B1y+C1Z+D1=0 это общие ур-я

A2x+B2y+C2Z+D2=0 прямой в пространстве

Они задают прямую ,как линию пересечения 2-х пл-тей

Взаимное расположение прямой и пл-ти в пр-ве

Пусть задана прямая каноническими ур-ми

(x-x0)/k=(y-y0)/e=(t-t0)/m

и плоскость общим ур-ем плоскости Ax+By+Cz+D=0

Дано:

S=(k,e,m)-направленный вектор прямой

N=(A,B,C)

Cos(90-β)=sinβ=(N,S)/|N|*|S|=(Ak+Be+Cm)/√ ²+B²+C²√k²+e²+m²

Условие парал-ти прямой к плоскости

Ak+Be+Cm=0

Условие перпенд-ти

Если пр перп-на пл-ти,то ее направл в-р S кол-н норм в-ру пл-ти S//N A/k=B/e=C/m

Условие принадлежности прямой к плоскости:

Ax0+By0+Cz0+D=0 Ak+Be+Cm=0