29)Определение ускорения точки

Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:

a_x = dv_x / dt = d²x / dt²; a_y = dv_y / dt = d²y / dt²; a_z = dv_z / dt = d²z / dt²;

или

a_x = _x= ; a_y = _y= ; a_z = _z= ;

Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения a выражаются через его проекции по следующим формулам:

a =( v_a² + a_y² + a_z²) ; cos(a,Ox) = a_x / a; cos(a,Oy) = a_y / a; cos(a,Oz) = a_z / a.

29) Вектор ускорения a точки лежит в соприкасающейся плоскости P n и определяется двумя проекциями и a_n (a_b = 0):

проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от алгебраической скорости или второй производной от криволинейной координаты точки по времени:

= d / dt = d²s /dt²или = = .

проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой:

a_n = v² / .

Величины и a_n соответственно называют касательным и нормальным ускорениями точки.

30. определение скорости и ускорения точки при координатном задания её движения.

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки  в проекции на оси получаем:

,    ,  

или

,   ,   ,

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

;

,  ,   ,

где  ,  ,   - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Вектор скорости точки  , учитывая, что  ,  ,  ,  найдем:

,  ,  .

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы  ,  ,  , которые вектор   образует с координатными осями) по формулам

;

,  ,   .

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.        

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.

31.Равномерное и равнопеременное движения точки.

Равноме́рное движе́ние — механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит равные перемещения. Равномерное движение материальной точки — это движение, при котором скорость точки остаётся неизменной. Перемещение, пройденное точкой за время  , задаётся в этом случае формулой  .

Прямолинейное равномерное движение — это движение, при котором тело (точка) за любые равные и бесконечно малые промежутки времени проходит одинаковые перемещения. Вектор скорости точки остаётся неизменным, а её перемещение есть произведение вектора скорости на время:

.

Если направить координатную ось вдоль прямой, по которой движется точка, то зависимость координаты   точки от времени является линейной:

,

где   — начальная координата точки,   — проекция вектора скорости на координатную ось.

Точка, рассматриваемая в инерциальной системе отсчёта, находится в состоянии равномерного прямолинейного движения, если векторная сумма всех сил, приложенных к точке, равна нулю.

Если вектор a_t=const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то a_n=0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным.

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения  a_t = dv/dt = f'(t) = const,  то a_n≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным.

При |a_t|>0 движение точки называется равноускоренным, а при |a_t|<0 –равнозамедленным.

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид  (1)s = s₀ + v₀t + a_tt² / 2.

Здесь s₀ – расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v₀ – начальная скорость и a_t – касательное ускорение – величины численно постоянные, a s и t – переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения  (2)v = v₀ + a_tt.

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s₀, v₀, a_t и три переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны a_t и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения a_t из (1) и (2)  (3)s = s₀ + (v + v₀)t / 2;

после исключения t из (1) и (2)  (4)s = s₀ + (v² - v₀²) / (2a_t).

В частном случае, когда начальные величины s₀=0 и v₀=0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:  (5)s = a_tt² / 2;  (6)v = a_tt;  (7)s = vt / 2;  (8)s = v² / (2a_t).

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) – вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением. К этому движению применимы формулы (5)–(8), причем  a_t = g = 9,81 м/сек² ≈ 9,8 м/сек².

32. Поступательное движение твердого тела.

Поступательное движение — РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ точки - движение, при к-ром касат. ускорение w_тточки (в случае прямолинейного движения полное ускорение w)постоянно. Закон Р. д. точки и закон изменения её скорости u при этом движении даются равенствами:

где s - измеренное вдоль дуги траектории расстояние точки от выбранного на траектории начала отсчёта, t - время, s₀ - значение s в нач. момент времени t = = 0.  - нач. скорость точки. Когда знаки u и w одинаковы, Р. д. является ускоренным, а когда разные - замедленным.

При поступат. Р. д. твёрдого тела всё сказанное относится к каждой точке тела; при равномерном вращении вокруг неподвижной оси угл. ускорение e тела постоянно, а закон вращения и закон изменения угл. скорости w тела даются равенствами

где f - угол поворота тела, f₀ - значение f в нач. момент времени t = 0, w₀ - нач. угл. скорость тела. Когда знаки w и e совпадают, вращение является ускоренным, а когда не совпадают - замедленным.

33.Вращательное движение твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение тела.

ращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.13).

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела должны оста­ваться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Для определения положения вращаю­щегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось  , полуплос­кость  - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и  вращающую­ся вместе с ним (рис. 13).

Рис.13

 

Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом   между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол   положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси  ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол    будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла   от времени t, т.е.                                                                                  

.

Уравнение  выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость   и угловое ускорение  .

Если за промежуток времени   тело совершает поворот на угол  , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет  . В пределе при   найдем, что

 или  .

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак   определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки,  >0, а когда по ходу часовой стрелки, то  <0.

Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с^-1), так как радиан - величина безразмер­ная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора  , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.14). Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси.

Рис.14

 

Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Если за промежуток вре­мени   угловая скорость тела изменяется на величину  , то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при   найдем,

  или   .

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T² (1/время²); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с² или, что то же, 1/с²  (с-²).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины   и   имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора  , направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Направление   совпадает с направлением  , когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно   при замедленном вращении (рис.14,б).