Задание движения, кинематические уравнения движения.

Д ля задания движения нам нужно определить положение отрезка AB в неподвижной системе координат Oxy. Положение точки A отрезка, которую назовем полюсом, определим двумя ее координатами x_A и y_A (рис. 79). Для определения положения точки B введем две подвижные системы координат с началами в полюсе. Первую из них - Ax*y*, назовем базовой системой координат. Ее оси при движении тела остаются параллельными осям неподвижной системы координат. То есть базовая система координат движется поступательно и движение полюса - точки A - полностью определяет ее движение в неподвижной системе координат. С телом жестко свяжем вторую подвижную систему координат Ax₁y₁ так, чтобы ось Ax₁проходила через точку B (рис. 79). Тогда, так как AB = const, положение точки B в базовой системе координат определяется одним переменным параметром φ - углом поворота связанной с телом системы координат в базовой или просто углом поворота тела. Заметим, что поворот происходит вокруг оси Az₁ , совпадающей с осью Az* , проходящей через полюс (на рис. 79 эти оси не показаны).

Таким образом, три функции времени

xA = xA(t); yA = yA(t); φ = φ(t)

(1)

полностью определяют положение твердого тела при плоском движении в любой момент времени и являются кинематическими уравнениями плоского движения твердого тела. Естественно, что число кинематических уравнений совпадает с числом степеней свободы тела в плоском движении.

Основное свойство плоского движения.

Вначале сформулируем основное свойство, а затем его докажем.

П лоское движение твердого тела можно представить как поступательное движение совместно с полюсом и вращение или угловое движение вокруг полюса, причем угловое движение не зависит от поступательного движения.

Из выражений (1) мы видим, что первые два уравнения описывают движение полюса или поступательное движение базовой системы координатAx*y*, а третье уравнение описывает вращение или угловое движение тела в базовой системе координат, причем вращение происходит вокруг осейAz* и Az₁ , перпендикулярных плоскости рисунка, и на рис. 79 не показанных.

Докажем независимость углового движения тела от поступательного движения, выбрав новый полюс A' (рис. 80). Из-за этого, так как x_A'   x_A иy_A'   y_A, изменятся параметры поступательного движения. Воспользовавшись произвольным выбором второй точки отрезка B', мы всегда можем ввести связанную с телом систему координат A'x'₁y'₁ (рис. 80) так, чтобы φ' = φ и параметры углового движения (угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение) не изменились, доказав этим, что угловое движение не зависит от поступательного движения.

Плоское движение твердого тела.

Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.Уравнения плоского движения: x_A= f₁(t), y_A= f₂(t),  = f₃(t),  точка А назыв. полюсом. Плоское движение тв.тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс (А),и из вращательного движения вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят. Скорости точек тела при плоском движении: ; ,  v_BA= BA, т.е. скорость какой-либо точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса  А  и скорости точки  В  при вращении плоской фигуры вокруг полюса  А. Теорема: при плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой: v_Acos = v_Bcos. Мгновенный центр скоростей – точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю – Р. Если тело движется непоступательно, т.е. 0, то мгн.цент.ск. всегда существует. При поступательном движении м.ц.с. находится в .  – скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с м.ц.с., и направлена  этому отрезку в сторону вращения фигуры. , скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до м.ц.с. , угловая скорость тела равна отношению скорости какой-нибудь точки к ее расстоянию до м.ц.с. Определение положения м.ц.с.: 1) м.ц.с. – точка пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек (напр. в точке В  и точке  К); 2) если скорости точек А  и  В параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения м.ц.с. должны быть известны модули и направления скоростей (см. v_A и v_B); 3) если они при этом равны между собой, то м.ц.с. находится в , а угловая скорость=v_A/=0; 4) если известно, что скорости двух точек  А  и  В  равны, параллельны и не перпендикулярны АВ, то м.ц.с. в  , и угловая скорость=v_A/=0, если это имеет место только к некоторый момент времени, то имеем мгновенное поступательное движение; 5) если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской фигуры будет в точке соприкасания. Теорема Шаля: плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра. Этот центр на неподвижной плоскости, совпадает с м.ц.с. и называется мгновенным центром вращений (ось вращений). При движении плоской фигуры м.ц.с. непрерывно изменяет свое положение. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на плоскости фигуры, назыв.подвижной центроидой (колесо катится по прямой: неподвижная центроида – прямая, подвижная – окружность). При движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде (теорема Пуансо).

44. Мгновенный центр скоростей. Частные случаи определения мцс. Мгновенный центр скоростей – точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю – Р. Если тело движется непоступательно, т.е. 0, то мгн.цент.ск. всегда существует. При поступательном движении м.ц.с. находится в .  – скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с м.ц.с., и направлена  этому отрезку в сторону вращения фигуры. , скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до м.ц.с. , угловая скорость тела равна отношению скорости какой-нибудь точки к ее расстоянию до м.ц.с. Определение положения м.ц.с.: 1) м.ц.с. – точка пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек (напр. в точке В  и точке  К); 2) если скорости точек А  и  В параллельны между собой и перпендикулярны АВ, то для определения м.ц.с. должны быть известны модули и направления скоростей (см. v_A и v_B); 3) если они при этом равны между собой, то м.ц.с. находится в , а угловая скорость=v_A/=0; 4) если известно, что скорости двух точек  А  и  В  равны, параллельны и не перпендикулярны АВ, то м.ц.с. в  , и угловая скорость=v_A/=0, если это имеет место только к некоторый момент времени, то имеем мгновенное поступательное движение; 5) если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской фигуры будет в точке соприкасания. Теорема Шаля: плоскую фигуру можно переместить из одного положения в любое другое положение на плоскости одним поворотом этой фигуры вокруг некоторого неподвижного центра. Этот центр на неподвижной плоскости, совпадает с м.ц.с. и называется мгновенным центром вращений (ось вращений). При движении плоской фигуры м.ц.с. непрерывно изменяет свое положение. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центроидой. Геометрическое место м.ц.с., отмеченных на плоскости фигуры, назыв.подвижной центроидой (колесо катится по прямой: неподвижная центроида – прямая, подвижная – окружность). При движении плоской фигуры подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной центроиде (теорема Пуансо).