45. Ускорение точек плоской фигуры. Мгновенный центр ускорений.

Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором   где  . Тогда

.

В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение   полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение  ,  которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно,

.

Значение  , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как

   

где   и   - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а   - угол между вектором   и отрезком МА (рис.41).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения  какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка Мполучает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения  , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).

Однако вычисление  с помощью параллелограмма, изображен­ного на рис.23, усложняет расчет, так как предварительно надо бу­дет находить значение угла  , а затем - угла между векторами   и  ,  Поэтому при решении задач удобнее вектор    заменять его касательной   и нормальной   составляющими и пред­ставить в виде

.

При этом вектор   направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор   всегда направлен от точки Мк полюсу А (рис.42). Численно же

   .

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение мо­жно тоже представить как сумму касательной    и нормальной   составляющих, тогда

.

 

           

Рис.41                                                             Рис.42

 

Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траекто­рия известна, то  можно заменить суммой  .

 

Мгновенный центр ускорений.

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны ускорение    какой-нибудь точки А фигуры и величины   и  , следующим путем:

1) находим значение угла  , из формулы  ;                

2) от точки А под углом  , к вектору    проводим прямую АЕ (рис.45);

при этом прямая АЕ должна быть отклонена от   в сторону вращения фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным, т. е. в сторону направления углового ускорения  ;

3) откладываем вдоль линии АЕ отрезок AQ, равный                 

.

Рис.45

 

Построенная таким путем точка Q и будет мгно­венным центром ускорений. В самом деле, известно что

,

где численно  . Подставляя сюда значение AQ  находим, что  .  Кроме того, вектор   должен образовывать с ли­нией AQ угол  , следовательно, вектор   параллелен  , но направлен в про­тивоположную сторону. Поэтому   и   .              

Если точку Q выбрать за полюс, то так как  , ускорение любой точки М тела, будет

.

При этом численно

.

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­мент времени так, как если бы движение фигуры, было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q. При этом

,

т.е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­венного центра ускорений. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры в данный момент времени показана на рис.46.

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис.47), причем скорость его центра С постоянна ( ), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ке Р ( ), но при этом, как было показано  ; следовательно, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений.

                                             

Рис.46                                                                Рис.47

 

Мгновенный центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­жется равномерно и прямолинейно и  . Центры скоростей и ускорений сов­падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.