- •2. Задачи, модели и методы теории управления
- •2.1. Задачи теории управления
- •2.2. Общая схема построения моделей и анализа
- •2.3. Модели сигналов и систем
- •2.3.1. Модели сигналов
- •2.3.2. Сигналы и системы
- •2.3.3. Единство сигналов и систем
- •2.3.4. Динамические и статические модели
- •2.4. Способы построения моделей
- •2.4.1. Аналитический способ
- •2.7.2. Экспериментальный способ
- •2.5. Классы математических моделей
- •2.5.1. Свойства операторов преобразования переменных
- •2.5.2. Систематизация классов моделей
- •2.6. Структурированные модели систем управления
- •2.6.1. Причинность моделей
- •2.6.2. Причинно-следственные модели систем управления
- •2.6.3. Иерархические модели систем управления
2.5.2. Систематизация классов моделей
В зависимости от совокупности перечисленных свойств будем различать классы операторов и моделей. Модель объекта или системы управления принадлежит тому же классу, что и описывающий их оператор преобразования. Разумеется, можно говорить о классе математической модели, а не реальной системы.
Ранее определили следующие признаки классов систем с непрерывным и дискретным временем:
• линейные ( ) или нелинейные ( );
• стационарные (S) или нестационарные ( );
• детерминированные ( ) или стохастичные ( );
• сосредоточенные (конечномерные) (К) или распределенные (бесконечномерные) ( ).
Отрицание свойства имеет “расширительный” смысл; например, свойство “нелинейный” означает “не обязательно линейный”. Другими словами, линейные модели с признаком L при других одинаковых признаках являются частным случаем нелинейных моделей , способных объяснять и предсказывать большее разнообразие типов поведения. Сказанное относится к любому отрицанию, означающему расширение класса моделей: подмножество моделей с признаком K (конечномерность) при прочих одинаковых признаках полностью включается во множество с признаком (распределенность параметров); модели с признаком S (стационарность) составляют собственное подмножество моделей с признаком ; детерминированные модели с признаком D являются частным случаем моделей стохастических (с признаком ). Снятие отрицания любого признака класса, вообще говоря, приводит к уменьшению информативности модели.
Эти четыре независимых признака биальтернативны; поэтому можно насчитать всего 24 = 16 классов непрерывных и столько же — дискретных систем. Перечислим элементы множества классов:
. (2.5)
Качественный уровень сложности естественно связать с числом отрицаний в обозначении класса модели, чем больше отрицаний, тем выше уровень сложности модели. Соотношение (2.5) частично упорядочивает множество классов: простейшим является класс 0-го уровня KSDL класс конечномерных стационарных детерминированных линейных моделей. Наивысший, 4-й уровень сложности имеют модели в виде нелинейных дифференциальных/ разностных уравнений в частных производных/ разностях с переменными случайными коэффициентами. Классы с одним, двумя и тремя отрицаниями имеют соответственно 1-й, 2-й и 3-й уровни сложности.
Простейший класс KSDL — линейные стационарные детерминированные конечномерные системы. Модели имеют форму обыкновенных линейных дифференциальных (разностных) уравнений с постоянными детерминированными коэффициентами. Математика предлагает весьма мощный аппарат анализа линейных дифференциальных и разностных уравнений. В рамках теории управления разработаны специализированные методы анализа и синтеза этого класса систем. В англоязычной литературе для класса KSDL принято обозначение LTI (Linear Time-Invariant).
Для систем, описываемых операторами второго и выше уровней сложности, как правило, имеется единственная возможность их анализа и синтеза путем вычислительных экспериментов.
Если модель системы образована элементами различных классов, то класс системы определяется классом элемента с максимальным числом отрицаний.