2.3.3. Единство сигналов и систем

Сигналы можно описать как генерирующие их автономные системы, а системы — как генерируемые или преобразуемые ими сигналы. Двойственностью интерпретации и единством сигналов и систем широко пользуются в расчетной практике. Рассмотрим некоторые примеры задания сигналов и систем.

1. Модели сигналов — функции непрерывного или дискретного времени — часто иллюстрируют в виде графиков (см. рис. 1.15, рис. 1.16, рис. 2.4). Результатом экспериментального исследования источников сигналов являются таблицы данных. Для задания типовых сигналов используют аналитические выражения; например, гармонический сигнал описывается так

. (2.1)

Сигнал можно задавать как автономную систему — генератор (см. рис. 2.3, а) при типовых начальных условиях. Например, гармонический сигнал (2.1) является решением однородного дифференциального уравнения второго порядка

. (2.2)

Следовательно, уравнение (2.2) также является описанием гармонического сигнала частоты с амплитудой .

Сигнал может задаваться также как фильтр, на вход которого подается типовой сигнал (см. рис. 2.3, б). Тот же гармонический сигнал (2.1) является решением неоднородного дифференциального уравнения

,

т. е. выходом системы, на вход которой подается -функция площади при нулевых начальных условиях.

2. С другой стороны, фильтр (преобразователь) может задаваться как пара сигналов вход/выход. Часто динамические объекты задают в виде временных характеристик — реакций на типовые воздействия при нулевых начальных условиях. Если в качестве типового воздействия принимают ступенчатые сигналы, то реакция называется переходной характеристикой, а если воздействием является единичный импульс ( -функция), то реакцию называют импульсной переходной функцией (функцией веса). Ступенчатые воздействия достаточно просто реализовать на практике экспериментального исследования объектов и других элементов систем управления.

Частотные характеристики объектов и систем управления показывают, как зависят параметры (амплитуды и фазы) установившихся реакций от частоты гармонического сигнала. Частотные характеристики весьма удобны для описания свойств систем. В результате экспериментального исследования устойчивых объектов управления данные принимают вид таблиц.

Среда на входе системы (см. рис. 2.2, б) задается как сигнал , имеющий смысл возмущения или управляющего воздействия. Распространенными типовыми сигналами, моделирующими детерминированные воздействия, являются единичные импульсная и ступенчатая функции, гармонические сигналы. Примером типового случайного воздействия является так называемый “белый шум”.

Другим способом задания модели среды является описание преобразователей — фильтров, на входы которых действуют типовые сигналы.

2.3.4. Динамические и статические модели

Динамические модели систем строятся для объяснения и предсказания поведения — изменений во времени состояния и наблюдаемых выходных переменных, вызванных внутренними процессами и/или воздействиями среды.

Статические модели описывают связи между постоянными значениями входов и выходов. Они могут быть получены из динамических моделей как частный случай, например, приравниванием нулю производных переменных по времени в дифференциальных уравнениях или разностей переменных в разностных уравнениях. Примеры статических моделей приведены в 1.4. Это модели так называемых равновесных режимов.

Следует еще раз подчеркнуть то обстоятельство, что каждая модель строится для конкретного множества сигналов. Сказанное требует уточнения приведенных выше понятий о динамических и статических моделях. Динамические модели строят, если скорости изменения сигналов сопоставимы с собственной динамикой объекта. Если же собственные движения моделируемого объекта много быстрее по сравнению со скоростью изменения сигналов на входе объекта, то такое взаимодействие сигнала и системы целесообразно описывать более простыми статическими моделями.

Для позиционных объектов строят статические характеристики — графики зависимости значений выходов от входов. Статические характеристики можно построить экспериментально, если объект устойчив на исследуемых режимах, т. е. его собственные движения со временем затухают и не накладываются на постоянные значения вынужденных установившихся реакций.

Не все объекты и элементы систем управления являются позиционными, т. е. имеют статические характеристики. В астатических объектах при ненулевом постоянном значении входа переменная выхода изменяется во времени. Например, судно как объект управления курсом является астатическим — если руль находится не в нейтральном положении, то курс движущего судна непрерывно меняется. То же можно сказать и о двигателях, если за выход принимать угловое положение вала. Выход астатических систем постоянен только при нулевом значении входа. Далее будет показано, что астатические объекты не являются асимптотически устойчивыми (находятся на границе устойчивости).