2.4. Способы построения моделей

В зависимости от характера и объема априорной информации об объекте исследования используют два способа построения моделей систем управления в формах, принятых в теории управления:

• аналитический;

• экспериментальный.

2.4.1. Аналитический способ

Аналитический способ применяется для построения моделей объектов хорошо изученной природы. В этом случае имеется вся необходимая информация о свойствах объекта, но она представлена в другой форме.

В результате идеализации физических объектов появляются структурные модели в виде схем с сосредоточенными компонентами (рис. 2.7, а). Типичными представителями физических систем, допускающих такое представление, являются электрические и механические объекты. На рис. 2.7, б изображена электрическая схема; а на рис. 2.7, в — пример механической поступательной системы.

Рис. 2.7. Физическая система с сосредоточенными компонентами (а); электрическая схема (б) и механическая поступательная система (в)

Принципиальные схемы являются символьными моделями, в которых информация об интересующих свойствах объекта представлена в наглядной форме с использованием графических образов, условно отображающих физическую природу явлений, устройство и параметры объектов. На таких моделях базируются соответствующие дисциплины, например, теоретическая электротехника и теоретическая механика. По существу, примеры принципиальны схем, изображенных на рис. 2.7, б и рис. 2.7, в — суть стационарные линейные модели с сосредоточенными компонентами (конечномерные), только представлены они с использованием обозначений, принятых соответственно в электротехнике и механике.

Как указывалось ранее, методы теории управления абстрагируются от конкретной природы объектов и оперируют более общими — математическими (символьными) моделями.

Аналитический способ моделирования складывается из этапа построения схемы объекта и ее дальнейшего преобразования в математическое описание требуемой формы. При этом принципиальные проблемы моделирования решаются на первом — неформальном этапе. Второй этап, по существу, оказывается процедурой преобразования форм представления моделей. Методы и алгоритмы математического описания по принципиальным схемам хорошо развиты в рамках соответствующих дисциплин. Это позволяет разработать различные компьютерные программы, позволяющие автоматизировать составление уравнений по схемам.

Рассмотрим примеры составления дифференциальных уравнений электрического и механического объектов.

Пример 1. Математическая модель электрической схемы (см. рис. 2.7, б). Существует три типа пассивных электрических двухполюсников — сопротивление R, емкость С и индуктивность L, описываемые следующими уравнениями для токов i(t) и напряжений u(t):

Уравнения связи двухполюсников в конкретной схеме выражаются законами Кирхгофа (Kirchhoff G. R.), представляющими собой условия непрерывности токов и равновесия напряжений:

• сумма токов в любом узле равна нулю;

• сумма напряжений в любом контуре равна нулю.

Пусть выходом схемы (см. рис. 2.5, б) является напряжение на емкости В соответствии с первым законом, имеем:

Второй закон для единственного контура запишется так:

Выражая напряжения и через напряжение :

,

получим дифференциальное уравнение второго порядка:

(2.3)

Пример 2. Математическая модель механической системы (см. рис. 2.7, в). Пассивными двухполюсниками механических схем являются механическое сопротивление B, масса M и упругость K, описываемые следующими уравнениями для сил f :

Уравнения связей механических двухполюсников выражают условия равновесия сил и непрерывности перемещений (скоростей).

В соответствии с приведенными выше уравнениями механических двухполюсников и уравнений связей записывают уравнение баланса сил — дифференциальное уравнение

(2.4)

Из сопоставления математических моделей объектов электрической и механической природы в форме дифференциальных уравнений (2.3) и (2.4), следует:

• математические модели являются более абстрактными — одно и то же дифференциальное уравнение второго порядка описывает как электрический, так и механический объект;

• электрическая схема может служить аналоговой (физической) моделью механической системы, если подобрать соответствующие номиналы сосредоточенных компонентов;

• можно решать обратную задачу — построить электрические схемы для решения дифференциальных уравнений. Это является основой построения аналоговых вычислительных машин.

При проектировании систем управления, когда некоторые элементы не существуют в натуре, аналитический метод построения моделей оказывается единственно возможным.

Аналитический способ построения математических моделей отвечает методу дедукции теории познания — здесь модели конкретных систем строят на базе общих законов природы.