2.3. Модели сигналов и систем

2.3.1. Модели сигналов

В исследованиях по теории связи и управления пользуются математическими моделями, описывающими существенные свойства сигналов с точки зрения переносимой ими информации [16], [17], [40], [46]. Некоторые способы кодирования информации рассмотрены в 1.5.

1. Непрерывный или, как говорят, аналоговый сигнал кодирует информацию уровнем сигнала в момент времени . Моделью сигнала в этом случае является сама переменная функция времени . Переменная принимает значения из некоторого подмножества действительных чисел; в теоретических исследованиях можно полагать R, т. е. , . Здесь и время, и уровни сигналов принадлежат множествам мощности континуума.

2. Математической моделью импульсных сигналов является числовой ряд или временная последовательность , в которой . Здесь аргумент функции принимает значения на счетном множестве, а уровни переменных непрерывны. Целочисленные — это единицы условного (абстрактного) времени. Иногда временную последовательность называют решетчатой функцией. Графическая иллюстрация последовательностей представляет собой совокупность точек, отвечающих уровням решетчатой функции при различных значениях дискретного аргумента (рис. 2.4).

Если между соседними значениями дискретного времени проходит одно и то же время T, оно называется периодом (шагом) дискретизации времени.

Рис. 2.4. Иллюстрация решетчатой функции

Особенностью последовательностей является то, что одна и та же последовательность может описывать различные по длительности и темпу процессы в зависимости от периода дискретности T, который может равняться году, месяцу, дню, часу, секунде, микросекунде и т. д. Так называемое реальное время получается умножением абстрактного времени на период дискретности .

3. Релейные сигналы квантованы по уровню и непрерывны во времени (см. рис. 1.16). Функция , принимает значения из конечного множества, а время непрерывно.

Элементы конечного множества значений функции соответствует тем или иным событиям, и могут обозначаться любыми символами (буквами, цифрами, знаками, словами — в случае лингвистических переменных). В принципе, такие сигналы способны нести меньший, по сравнению с непрерывными сигналами, объем информации, так как сообщают о состоянии объектов с точностью до конечного числа событий.

4. Цифровые сигналы квантованы по уровню и дискретны во времени. Моделями цифровых сигналов являются функции дискретного аргумента — последовательности, принимающие значения на конечных множествах .

Примерами дискретизации, как аргумента, так и функции являются таблицы функций,  аргументы заданы дискретно, а значения функций округлены до определенного количества цифр.

2.3.2. Сигналы и системы

Объекты и системы управления можно рассматривать как источники и преобразователи сигналов — носителей информации. В моделях автоматических систем управления сигналы являются входами и выходами элементов и подсистем, образующих эти системы. На математическом языке — это переменные; функции времени часто называют процессами.

Преобразование сигналов изменяет параметры, кодирующие информацию. Следовательно, можно сказать и так, что в преобразователях происходит обработка информации.

Рассмотрим два типа систем  генераторы и фильтры — источники и преобразователи сигналов.

Рис. 2.5. Типы систем: генератор (а); фильтр (б)

Генераторы сигналов  это автономные системы, имеющие выходы, но не имеющие входов, как это показано на рис. 2.5, а. Сигналы на выходах генераторов являются результатом процессов, происходящих в них в силу накопленной ранее энергии (ресурсов). Автономной является собственно система , когда нет входных воздействий (см. рис. 2.1, б и рис. 2.5, а).

Фильтры (преобразователи) сигналов имеют как входы, так и выходы (рис. 2.5, б). На рис. 2.2, б фильтром сигналов является система со связями со средой YSF. Выходы таких системы являются следствием входных сигналов, а также собственных (внутренних) процессов.

1. Если все сигналы в системе непрерывны по уровню и во времени, то система называется непрерывной. Математическими моделями генераторов непрерывных сигналов являются однородные (без правых частей) дифференциальные уравнения, а фильтров (преобразователей) — неоднородные дифференциальные уравнения. Однородные дифференциальные уравнения автономных систем включают переменные системы и их производные, но не содержат переменных, описывающих воздействия среды, и имеют постоянные параметры

;

Дифференциальные уравнения - го порядка дополняются начальными условиями, являющиеся следствием предыстории системы и вместе с дифференциальными уравнениями полностью определяющими поведение автономной системы. Приведенное уравнение описывает конечномерную, а именно, n-мерную систему.

2. Системы, генерирующие и преобразующие непрерывные по уровню и дискретные во времени сигналы — временные последовательности, описываются математическими моделями в форме разностных уравнений. В случае автономных систем с дискретным временем будем иметь однородные разностные уравнения:

,

где: и т. д. ― разности первого, второго и т. д. порядков; а аргумент принимает целочисленные значения .

3. Если сигналы дискретны по уровню и непрерывны во времени, то говорят о логических (событийных) системах, математическими моделями которых являются асинхронные конечные автоматы.

4. Наконец, если время дискретно, а множество значений сигналов конечно, то получаются цифровые системы, описываемые синхронными автоматами.

Заметим, что автоматы имеют память, их реакция зависит от предыстории, но изменяется при смене входного символа в тот же момент времени. Автоматные модели не являются динамическими в общепринятом смысле — при описании логических устройств (событийных систем) пренебрегают процессами перехода с одного состояния в другое.

На рис. 2.6 приведена таблица, упорядочивающая рассмотренные варианты сигналов/систем. В таблице приняты следующие обозначения типов сигналов:   непрерывное время и непрерывное значение переменной;   дискретное время и непрерывное значение переменной;   непрерывное время и дискретная переменная;   дискретное время и дискретная переменная.

Рис. 2.6. Типы сигналов/систем: непрерывные (СС); дискретные/импульсные (DC); релейные/автоматы асинхронные (CD); цифровые/автоматы синхронные (DD)

В том случае, когда в одной и той же системе наблюдаются различные типы сигналов, можно говорить о гибридных системах.

Следует отме­тить отно­си­тельность класси­фи­кации ти­пов систем и сигналов. Если мощность мно­жества значений сиг­нала велика, как это бывает в современных компьютерах (длина слов достаточна), то квантование уровня практи­чески не приводит к потере информации. Здесь цифровые устройства моде­лируются как импульсные. Если же мал и период дискретизации по сравнению со скоростями изменения сигналов, то непре­рывные модели достаточно адекватно описывают цифровые системы.

С другой стороны, может быть целесообразным построение дискретных моделей непрерывных сигналов и систем. Так поступают, например, при необходимости численного интегрирования дифференциальных уравнений и при цифровой реализации моделей для компьютерной имитации. Дискретизация сигналов является условием их анализа численными методами.

Дискретные модели в виде разностных уравнений строятся в результате обработки данных экспериментов, представляющих собой дискретные во времени данные о сигналах входа и выхода непрерывных объектов.