Независимые повторные испытания. Формула Бернули.

Постановка задачи: При проведении некоторого опыта событие А появляется со статистической вероятностью Р. При этом непоявление события А происходит с вероятностью: q=1-p. Производим серию испытаний в количестве n шт. в одних и тех же условиях опыта. Какова вероятность того, что событие А появится ровно m раз.

p(Sn = m) = Cn^m • p^m • q^n-m

Пример 39.

Монету бросают 10 раз, какова вероятность того, что герб появится ровно 2 раза?

p = ¹/₂; q = 1-¹/_2.

p = (S₁₀ = 2) = С₁₀² • (¹/₂)² • (¹/₂)⁸ = 0,044

Ответ: 0,044

Примери 40.

Басктеболист бросает мяч в корзину с вероятностью поподания 0,4. Что вероятнее ожидать: 3-х попаданий при 4-х бросках или 4-х попаданий при 6-ти бросках.

Ответ: p(S₄ = 3) > p(S₆ = 4)

Пример 41.

Всхожесть семян даного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 семян взойдёт ровно 4?

Р = 0,8; q = 0,2;

р(S₅ = 4) = С₅⁴ • (0,8)⁴ • (0,2) = 0,410

Ответ: 0,410.

Задачник для самостоятельной работы студентов.

Пример 42.

В первом ящике - 20 деталей, из них 15 - стандартных, во втором - 30 деталей, из них 6 - стандарных. Ящик выбирается на угад и берётся одна деталь. Какова вероятность того, что она - стандартная? (формула полной вероятности)

Ответ: 0,475

Пример 43.

Вероятность попадания в кольцо у баскетболиста - 0,6. Какова вероятность того, что всери из 8 брасков будет ровно 6 попаданий?

Ответ: 0,209

Пример 44.

Вдвух урнах находятся шары. В первой урне: 4 чёрных + 6 красных шара, во второй урне 3 чёрных + 7 красных шаров. Урна выбирается наугад,из неё выбирается один шар. Какова вероятность того, что шар окажется чёрным?

Ответ: 0,35

Пример 45.

Вероятность выйгрыша по одному билету в детской лотерее = 0,8.Чему равна вероятность выйграть 5 раз по 7 билетам?

Ответ: 0,275

Пример 46.

Футболист забивает мяч в ворота с вероятностью 0,8. Какова вероятность забить3 мяча при 6 испытаниях?

Ответ: 0,82.

Закон больших чисел.

З акон больших чисел утверждает: частота наступления события А в сери из n опытовотклоняется от вероятности р, с которой происходит А в отдельном опыте на бесконечно малую величину при n —› .

Из закона больших чисел вытекает: статистическая устойчивость частоты появления события А в сери из n опытов, в каждом из которых событие происходит с одной и той же вероятностью.

Бюфон (18 век) - 4040 раз подбрасывал манету:

герб - 2048 раз p~¹/_2.

Пирсон (20 век) - 24000 раз:

герб - 12012 раз p~¹/_2, т.е. p(А = ¹/₂).

Демография: на 1000 новорождёных приходится 517 мальчиков и 483 девочки, т.е. устойчивая рождаемость мальчиков 0,517, а девочек 0,483.

Если классическую вероятность можно определить до опыта, то статистическуювероятность - только после опыта по результатам.