1. Определитель квадратной матрицы и его геометрический смысл.

Определитель – каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, которое называется определителем матрицы и обозначают det(A).

1. Если А=[C], то det(A)=C

2. Если А= , то det(A)= -- разложение определителя по 1-й строке. A_ik=(-1)^i+k*M_ik – алгебраическое дополнение элемента a_ik.

M_ik – минор элемента a_ik.

Минор – определитель матрицы, который получается после вычеркивания или удаления из матрицы А i-й строки k-го столбца. i, k .

Это рекуррентное определение. Мы не сразу получаем определитель матрицы 3-го порядка, а по данной формуле приходим к вычислению 3-х определителей 2-го порядка и т.д.

Геометрический смысл определителей.

Пусть -- стандартные наги. .

Любой вектор можно линейно разложить в этом базисе.

Пусть -- произв. сист. вект. в пространстве. . Из координат этих векторов составим матрицу:

Тогда определитель этой матрицы равен ±V, где V – объем параллелепипеда, состоящего из этих векторов. det(A)= ±V.

Знак определителя определяют ориентацию векторов в пространстве. Это геометрический смысл определителя 3-го порядка в 3-х мерном пространстве.

На плоскости остается 2 базисных вектора. и (произвольные вектора). Составим матрицу:

Тогда det(A)=±S, где S – площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Это геометрический смысл определителя 2-го порядка на двухмерном пространстве.

Переводим в n-мерное пространство Rⁿ. В этом пространстве стандартный базис: . , где единица стоит на k-м месте. Выбираем произвольные вектора . Составляем матрицу из этих векторов:

Теперь можно обобщить понятие объема, образованного этими векторами в этом пространстве.

V=|det(A)| -- определитель объема тела, построенного на данных векторах.

2. Вычисление определителей

Определитель – каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, которое называется определителем матрицы и обозначают det(A).

1. Если А=[C], то det(A)=C

2. Если А= , то det(A)= -- разложение определителя по 1-й строке. A_ik=(-1)^i+k*M_ik – алгебраическое дополнение элемента a_ik.

M_ik – минор элемента a_ik.

Минор – определитель матрицы, который получается после вычеркивания или удаления из матрицы А i-й строки k-го столбца. i, k .

Это рекуррентное определение. Мы не сразу получаем определитель матрицы 3-го порядка, а по данной формуле приходим к вычислению 3-х определителей 2-го порядка и т.д.

Вычисление определителя 2-го порядка:

=a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁

Это следует из Опр. 1.

=a11*A11+a12*A12=a₁₁(-1)¹⁺¹*a₂₂+a₁₂(-1)¹⁺²*a₂₁=a₁₁*a₂₂-a₁₂*a₂₁

Выведем для определителя 3-го порядка правило треугольника.

= (a₁₁*a₂₂*a₃₃+a₁₂*a₂₃*a₃₁+a₂₁*a₃₂*a₁₃)-(a₃₁*a₂₂*a₁₃+a₂₃*a₃₂*a₁₁+a₁₂*a₂₁*a₃₃). Справа в первой скобке сумма произведений элементов, которые образуют треугольник со стороной параллельной главной диагонали. Во второй скобке – сумма произведений элементов, которые образуют треугольник со стороной параллельной побочной диагонали.

Прим.:

det(12)=12

=1*6-2*5=-4

=5* -0+0=5*(8-6)=10 (разложение по 3-й строке)

=3* (разложение по 3-му столбцу)

Е сли выше главной диагонали или ниже главной диагонали все нули, то определитель равен произведению элементов на главной диагонали.