- •1. Определитель квадратной матрицы и его геометрический смысл.
- •2. Вычисление определителей
- •3. Линейные свойства определителей
- •4. Определитель матрицы с линейно зависимыми строками
- •5. Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.
- •6. Умножение матриц. Основные свойства
- •7. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •8. Ранг матрицы. Основные свойства.
- •9. Решение слу методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
- •10. Решение слу матричным методом.
- •11. Решение слу методом Крамера.
- •12. Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства.
- •13. Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения вектора о базису.
- •14. Скалярное произведение векторов. Основные свойства
- •15. Косинус угла между векторами. Орт и модуль вектора. Направляющие косинусы вектора.
- •16. Векторное произведение векторов: определение и геометрический смысл
- •17. Основные свойства векторного произведения
- •18. Смешанное произведение. Основные свойства и геометрический смысл
- •19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
- •20. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •21. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
- •22. Параметрическое уравнение плоскости
- •23. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости.
- •24. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние и отклонение точки от плоскости.
- •25. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •26. Деление отрезка в данном отношении
- •27. Уравнение прямой на плоскости
- •28. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой.
- •29. Угол между прямыми на плоскости условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •30. Эллипс: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •31. Гипербола: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •32. Парабола: каноническое уравнение и геометрические свойства
13. Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения вектора о базису.
Линейная зависимость и независимость векторов.
λ1а1+ λ2а2+…+ λnаn – линейная комбинация векторов а1, а2, …, аn.
Если λ1а1+ λ2а2+…+ λnаn=0 и хотя бы одно из чисел λ1, λ2, ..., λn не равно 0, то такую линейную комбинацию называют нетривиальной линейной комбинацией.
Линейная зависимость векторов.
Если существует нетривиальная линейная комбинация λ1а1+ λ2а2+…+ λnаn, то векторы а1, а2, …, аn называют линейно зависимыми. В этом случае один из векторов является линейной комбинацией других векторов.
Пусть λn≠0 =>
Линейная независимость векторов.
а1, а2, …, аn называются линейно независимыми, если не существует нетривиальной линейной комбинации этих векторов. Для любой линейной комбинации получаем:
λ1а1+ λ2а2+…+ λnаn=0 => .
Линейно зависимые вектора называются компланарными.
λ1а1+ λ2а2+λ3а3=0
(1) а3=с1а1+с2а2(λ3≠0)
Если эти векторы отложить один за другим, то получится замкнутая фигура.
Поэтому компланарные векторы параллельны одной плоскости. В условии (1) содержится условие компланарности векторов.
Два линейно зависимых вектора называют коллинеарными.
λ1а1+ λ2а2 =0 – нетривиальная комбинация
b=λа – условие коллинеарности векторов.
Базис векторного пространства:
а1, а2, …, аn.
В n-мерном пространстве линейно независимые вектора образуют базис векторного пространства. Это понятие базиса.
Теорема о разложении вектора в данном базисе.
Если а1 а2 … аn – базис n-мерного векторного пространства.
То найдутся такие числа х1 х2 … хn, что произвольный вектор b равен х1а1+х2а2+…+хnan. Это разложение данного вектора b в данном базисе. х1 х2 … хn – координаты вектора b в данном базисе.
Вывод:
d=x1a1+x2a2+…+xnan. Существуют ли решения {x1, x2, …, xn}. Получаем следующую систему уравнений:
Эта система имеет решения, т.к. главный определитель ∆ является определителем матрицы |A|T, где А – матрица, состоящая из координат векторов.
an={an1, an2, …, ann}
Если определитель равен 0, то в матрице А существует линейная зависимость строк, а это означает существование линейной зависимости между векторами базиса, что противоречиво.
Теорема о единственности разложения в данном базисе.
Если a=x1c1+x2c2+…+xncn и a=y1c1+y2c2+…+yncn. с1, с2, …, сn – базис векторного пространства.
То х1=у1 х2=у2 … хn=yn.
Другими словами разложение в данном базисе является единственным.
Вывод:
Пусть мы имеем 2 разложения в данном базисе с1…сn. Вычтем, используя свойство векторов.
a-a=(x1-y1)*c1+(x2-y2)*c2+…+(xn-yn)*cn=0
Векторы базиса являются линейно независимы, поэтому эта комбинация является тривиальной, т.е. х1-у1=0 и х2-у2=0 … xn-yn=0.
14. Скалярное произведение векторов. Основные свойства
Характеристикой а и b, которая остается инвариантной при любых перемещениях и поворотах пространства на произвольный угол, является скалярное произведение векторов, определяемое по формуле:
а*b=a1b1+a2b2+…+anbn или
Скалярное произведение векторов – это сумма произведений одноименных координат векторов. Скалярное произведение – число.
Основные свойства скалярного произведения:
1. a*b=b*a – коммутативность
2. a*(b+c)=a*b+a*c – дистрибутивность
3. (λ*а)*b=(λ*b)*a= λ(a*b)
4. а*а=а2=|a|2
Вывод:
Все эти свойства почти очевидны. Например, коммутативность сразу следует из определения скалярного произведения.
Докажем 2.