- •1. Определитель квадратной матрицы и его геометрический смысл.
- •2. Вычисление определителей
- •3. Линейные свойства определителей
- •4. Определитель матрицы с линейно зависимыми строками
- •5. Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.
- •6. Умножение матриц. Основные свойства
- •7. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
- •8. Ранг матрицы. Основные свойства.
- •9. Решение слу методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли.
- •10. Решение слу матричным методом.
- •11. Решение слу методом Крамера.
- •12. Определение векторного пространства. Линейные операции над векторами. Основные свойства.
- •13. Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения вектора о базису.
- •14. Скалярное произведение векторов. Основные свойства
- •15. Косинус угла между векторами. Орт и модуль вектора. Направляющие косинусы вектора.
- •16. Векторное произведение векторов: определение и геометрический смысл
- •17. Основные свойства векторного произведения
- •18. Смешанное произведение. Основные свойства и геометрический смысл
- •19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
- •20. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
- •21. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.
- •22. Параметрическое уравнение плоскости
- •23. Общее уравнение плоскости. Нормальный вектор плоскости.
- •24. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние и отклонение точки от плоскости.
- •25. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •26. Деление отрезка в данном отношении
- •27. Уравнение прямой на плоскости
- •28. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Отклонение точки от прямой.
- •29. Угол между прямыми на плоскости условие параллельности и перпендикулярности прямых.
- •30. Эллипс: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •31. Гипербола: каноническое уравнение и геометрические свойства
- •32. Парабола: каноническое уравнение и геометрические свойства
5. Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.
Матрица – прямоугольная таблица элементов.
= (aik), где i=1,2…n; k=1,2…n
(единичная матрица 2-го порядка)
(единичная матрица 3-го порядка)
Пусть (А) – квадратная матрица.
Если |A|=0, то матрица называется вырожденной.
Если |A|≠0, то матрица называется невырожденной.
Линейные операции над матрицами:
1. А+В=(aik+bik), где i=1…n, k=1…n
Матрицы одинакового порядка складываются поэлементно.
2. λ*А=λ*aik, где i=1…n, k=1…n
На число умножается каждый элемент матрицы.
Если есть общий множитель для всех элементов матрицы, то его можно вынести за знак матрицы.
3. Равенство матриц.
А=В aik=bik, где i=1…n, k=1…n
Равенство определяется с точностью до всех элементов.
Транспонирование матриц.
Ат=(aki) – транспонированная матрица
А =(aik)
i=1…n
k=1…m
При транспонировании матрицы строки записываются как столбцы. Это соответствует повороту матрицы вокруг главной диагонали на 90о.
Нетрудно доказать следующие свойства для транспонированных матриц.
1. (АВ)т=Ат*Вт
При транспонировании произведения матриц можно перемножать транспонированные матрицы как одно целое.
2. (Ат)т=А
3. (А+В)т=Ат+Вт
Проверим последнее свойство на примере.
Вывод: ( на примере)
6. Умножение матриц. Основные свойства
Определение скалярного произведения строки на столбец:
Определение умножения матриц:
Пусть (А) имеет тип (m x p)
(B) имеет тип (p x n)
Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Тогда произведение матриц определяется по формуле:
Таким образом, произведение матриц получается при скалярном умножении строк матрицы А на столбцы матрицы В.
Пример:
Покажем, что в общем случае А*В≠В*А, т.е. умножение матриц некоммутативно.
Найти произведение матриц и
А*В≠В*А
Единичная матрица играет роль единицы при умножении.
Основные свойства матриц:
1. А*(В*С)=(А*В)*С – ассоциативность
2. А*(В+С)=А*В+А*С
(А+В)*С=А*С+В*С – дистрибутивность
3. λ(А*В)=А*( λВ)
4. А*Е=Е*А=А – свойство единичной матрицы
5. Пусть О – нулевая матрица(все элементы равны 0)
А+О=О+А=А
В этих свойствах предполагается, что умножение и сложение определено, т.е. типы матриц соответствуют.
Вывод 2.:
(A+B)*C=A*C+B*C
(A+B)*C= =AC+BC
7. Обратная матрица. Теорема об обратной матрице
Пусть М –множество квадратных матриц n-го порядка. Нетрудно проверить следующие свойства:
λ R A M => λ*A M
A, B M =>
-- единичная матрица.
А*Е=Е*А=А – основное свойство единичной матрицы.
Если определитель матрицы не равен ), то ее называют невырожденной. Для невырожденной квадратной матрицы можно определить обратную матрицу, которую обозначают А-1 по следующей формуле.
А-1= Ас – союзная матрица
Для образования союзной матрицы, алгебраические дополнения элементов строки матрицы А записывают как столбец матрицы Ас.
Вывод:
Пусть А – невырожденная матрица n-го порядка. Покажем А-1*А=Е. Аналогично доказывается А*А-1=Е. Введем вспомогательную матрицу типа С(k, l). С(k, l) – матрица, которая получается из матрицы А заменой k-го столбца на l-й столбец.
Е сли k≠l, то в этой матрице есть 2 одинаковых столбца. Если k=l, то матрица не меняется.
Найдем произведение , где k, l = 1…n
Приведем без доказательства основные свойства обратной матрицы:
1. (λ*А)-1= , где λ – число
2. (А*В)-1= В-1* А-1
Обратная матрица произведения двух матриц равна произведению обратных матриц в обратном порядке.
3. (А-1)т=(Ат)-1
Пример:
Н аходим определитель матрицы:
det(A) = -4
Определяем элементы союзной матрицы:
Находим обратную матрицу:
Покажем, что А-1*А=Е