Санкт-Петербургский технический колледж управления и коммерци

Практическое пособие

По теме «Элементы теории вероятностей»

2008 г.

Содержание:

• Виды случайных событий

• Классическое определение вероятности и следствия из него

• Комбинаторные принципы сложения и умножения и их применение к решению задач

• Задачник для самостоятельной работы студентов

• Теоремы сложения и умножения вероятностей

• Совместное применение теорем сложения и умножения

• Задачник для самостоятельной работы студентов

• Формула полной вероятности

• Независимые повторные испытания. Формула Бернулли

• Задачник для самостоятельной работы студентов

• Закон больших чисел

Виды случайных событий и их вероятности.

Из истори:

Возникновение теори вероятности связано с азартными играми и относится к середине XVII века, Франция: Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Гаусс, Лапласс, Пуассон. XVIII век - Россия: Чебышёв П. Л., Ляпунов А.М., МарковА.А.; XX век - Росия: Колмагоров А.Н., Бернштейн, Хинчин А.Я.

Теория вероятностей.

Математическая наука изучающая закономерности случайных величин.

Примечание:

Автоматика, математическая и прикладная статистика, экономика, оценка качества продукци, менеджмент и др.

Основные определения:

1.Событие называется случайным, если в результате опыта оно можетпроизойти, а может и не произойти.

2.Событие называется доставерным, если оно обязательно произойдёт в результате опыта.

3.Событие называется невозможным, если в результате опыта оно не может произойти.

4.Два события А и В называются несовместными, если в одном итомже испытани появление одного из них исключает появление другого (т.е. они не могут происходить одновременно).

5.Два события А и В называются совместными, если в одном итомже испытани появление одного из них не исключает появление другого.

6.События называются единствено возможными, если в резильтате опыта появление одгого из них является достоверным событием.

7.Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы инет оснований считать одно из них боле возможным, чем другое.

8.События А₁; А₂; ...; Аn, образуют полную групу событий, если в результате опытанепремено произойдёт хотябы одно из них.

9.Два случайных события называются противопожными, если одно из нихпроисходит в том и только в том случае, когда не происходит другое.

10.Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не влияет на появлениедругого.

11.Два события А и В называются зависимыми, если появление одного из них влияет на появление другого.

Классическое определение вероятности событий.

12.Если испытание можетпривести к одному и только одному из «n» равновозможных исходов и если «m» из них благоприятствуют появлению события А, то вероятность появления события А вычисляется по формуле:

p(А)=^m/_n

p - вероятность;

А - случайное событие;

n - обще количество исходов (количественая сторона);

m - число благоприятных исходов (качественая сторона);

p(A) - выражается десятичной дробью с 3-мя значащими цифрами.

Следствия из определения 12

1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Р(А)=0

2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Р(А)=1

3. Вероятность любого события заключена между 0 и 1, т.е. 0 Р(А) 1

Решение задач на классическое определение вероятности:

1. Из полного набора игры «Домино» наудачу извлекается 1 кость . Какова вероятность того, что на пластинке будет сумма очков, равная 6?

n=28 - общее число исходов

0	1	2	3
6	5	4	3

m=4 - число благоприятных исходов.

Событие А-сумма очков равна 6

Р(А)=⁴/₂₈=¹/₇=0,143

Ответ: Р(А) = 0,143

2. В урне находится 5 красных, 7 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынули 3 шара, оказалось, что 1 красный и 2 чёрных. Какова вероятность того, что следующий вынутый шар будет белым?

А - вынут белый шар;

n=(5+7+4)-3=16-3=13

m=7

Р(А)=⁷/_13=0,538

_{Ответ: Р(А)=0,538}

3. _{Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от1 до 30 включительно, является делителем числа 30?}

А=30-число-делитель

m=8 (1и30, 2и15, 3и10, 5и6)

n=30

Р(А)=⁸/₃₀=0,267

Ответ: Р(А)=0,267

Комбинаторные принципы сложения и умножения и их применение к решению задач.

Принцип №1 (Сложение)

Если элемент  можно выбрать К способами, а элемент  - m способами и если φ, то выбор 1 элемента  или  можно сделать К+m способами (если  , то выбор 1 элемента  или  можно сделать К+m- способами, где  -число пересечений  и .

Пример №4 (на принцип сложения).

В классе 30 учасщихся. Из них 12 - учатся на «5», 10 - на «4», 5 - на «3». Преподаватель , не знакомый с классом , по списку выбирает учащихся. Какова вероятность того, что будет выбра успевающий? (События не пересекаются.)

А-выбран успевающий учащийся

m=12+10+5=27

n=30

Р(А)=²⁷/₃₀=⁹/₁₀=0,9

Ответ: Р(А)=0,9.

Пример №5 (события пересекаются).

В кружёк по математике записаны 16 человек, а по информатике - 20 человек, причём 10 человек посещают оба кружка. Всего в классе 30 человек. Какова вероятность того, что к доске будет вызван учащийся - кружковец?

А-вызван учащийся - кружковец

n=30

m=16+20-10=26

Р(А)=²⁶/₃₀=0,867

Ответ: Р(А)=0,867.

Принцип №2 (умножение) (принцип зрительного зала)

Если элемент  можно вабрать к способами, а элемент можно выбрать m способами, то выбор пары элементов  и  может быть сделан кm

к



0 00.........00

000...........0

………….. m

...................

0000.........0

Билет: m - ряд, к - место.

Всего мест: mк.

Пример №6

Группа туристов из 15 юношей и 5 девушек выбирает по жребию хозяйственную команду. Какова вероятность того , что в числе избранных окажутся 2 юноши и две девушки?

А - выбраны 2-е юношей и 2-е девушек.

n=С₂₀⁴; m₁=С₅²; m=С₁₅².

Р (А)=(m₁··m₂)n; Р(А)=(С₅²·С₁₅²)·С₂₀⁴=0,217

Ответ: 0,217

Замечание: эту задачу можно представить в виде схемы

В дальнейшем задачи такого типа будем на называть задачами - схемами.

Пример №7

В классе учатся 15 мальчиков и 10 девочек. На конференцию нужно выбрать 5 чел. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 девочки? (Задача - схема).

Ответ: 0,385

Пример №8

В группе переводчиков 90 человек, из них: с немецкого языка - 30 человек, с итальянского - 65 человек, с обоих языклов - 15 человек. По списку вызывают переводчика по телефону. Какова вероятность того, что он не знает ни итальянского, ни немецкого? (Принцип №1).

Ответ: 0,884

 Реши самостоятельно! №7 №8