Теорема 4

Вероятность произведения двух зависимых событий равно произведению вероятности первого события, на условную вероятность другого, при условии, что первое уже произошло:

Р(АВ)=Р(А)Р(^В/_А)

Теорема 5

Вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведеню вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Пример №22

В урне: 6 чёрных шаров; 5 красных и 4 белых шара. Последовательно вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что шары вынуты в последовательности: чёрный, красный, белый.

Событие А - вынут чёрный шар

Событие В - вынут красный шар

Событие С - вынут белый шар

События А, В, С - независимые

Р(АВС)=⁶/₁₅⁵/₁₄⁴/₁₃=0,044

Оатвет: 0,044

Пример №23

Два срелка стреляют по цели по 1-у разу. Вероятность попадания в цель: первого стрелка 0,8; второго стрелка 0,7.Какова вероятность того, что:

А) оба попадут в цель?

Б) ни один не попадёт в цель?

Решение: (события А и В - независимы)

Событие А - попал первый стрелок; Р(А)=0,8

Событие В - попал второй стрелок; Р(В)=0,7

а) Р(АВ)=0,80,7=0,56

б) Р(А·В)=(1-0,8)(1-0,7)=0,20,3=0,06

Ответ: 0,06

Совместное применение теорем сложения и умножения.

Вероятность появления хотябы одного событи:

Теорема 6

Вероятность появления хотябы одного из независимых событий А, В, С, в совакупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположнах событий А, В, С, т.е. Р(А+В+С)=1-Р(АВС)

Пример№24

Три стрелка стреляют по цели по очереди с вероятностью попадания: Р(А)= 0,8 ; Р(В)= 0,7 ;Р(С)= 0,4 Найти: а) вероятность попадания ровно 2-х стрелков; б) хотя бы одного стрелка.

Решение:

А – стреляет 1-ый стрелок

В – стреляет 2-ой стрелок

С – стреляет 3-ий стрелок

События не зависимы

а) Событие: ровно 2 попадания:

А· В · С + А · В · С + А · В · С

Р(АВС + АВС + АВС)=0,8· 0,7· 0,6 + 0,8 ·0,3·0,4 + 0,2·0,7·0,4=0,336 + 0,096 + 0,056 = 0,488

б) Р(АВС) = 0,2 · 0,3 · 0,6 = 0,036 – ни один не попал

Р(А+В+С) = 1-0,036 = 0,964 (Т6) – хотя бы один попал

Ответ: а) 0,488

б) 0,964

Примечание: Хотя бы один попал = попали все 3 + ровно 2 попали + ровно один попал.

Задачник для самостоятельной работы студентов.

Пример №25

В НИИ работает 120 человек. Из них 80 человек – знает англ язык, 70 – немецкий язык, 50 – оба языка. Какова вероятность выбрать по списку сотрудника:

1) знающего хотя бы один язык

2) ровно один язык

3) ни одного языка

(указание: Т2 )

Ответ: а) 0,833

б) 0,417

в) 0,167

Пример №26

В группе – 30 учащихся. Из них – 12 человек - отличники, 8 – хорошисты, 5 - учатся на удовлетворительно. Какова вероятность того, что выбранный по списку учащийся будет успевающим? (Т1)

Ответ: 0,833

Пример №27

В ящике имеется 20 деталей, из которых – 3 нестандартных. Из ящика берутся наугад 2 детали ( в результате двукратного повторения ) . Какова вероятность того, что обе детали окажутся нестандартными? (Т4)

Ответ: 0,16

Пример №28

В партии из 12 телефонных аппаратов 10 исправных. Определить вероятность того, что из двух подряд взятых аппаратов оба окажутся исправными. (Т4)

Ответ: 0,682

Пример №29

Имеется 3 ящика по 10 деталей, в первом – 8, во втором - 7, в третьем – 9 стандартных деталей. Из каждого ящика вынимают наудачу по одной детали. Найти вероятность того, что 3 вынутые детали окажутся стандартными. (Т5)

Ответ: 0,504

Пример №30

Вероятность того, что наудачу вызванный ученик сдаст первый экзамен – 0,9; 2-ой – 0,8; 3-ий – 0,7. Какова вероятность того, что ученик сдаст хотя бы один экзамен? (Т5и6).

Ответ: 0,994

Пример №31

В ящике – 10 деталей, среди которых – 6 –окрашенных. Сборщик последовательно вынимает 4 детали. Найти вероятность того, что все извлечённые детали окажутся окрашенными? (Т4).

Ответ: 0,071

Пример №32

Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели, с вероятностями – 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что он: а) промазал все 3 раза; б) попал все 3 раза; в) попал хотя бы 1 раз; г) ровно 1 раз. (Т5,6)

Ответ: а) 0,024

б) 0,336

в) 0,976

г) 0,452

Пример №33

В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

Ответ: 0,292

Пример №34

В читальном зале имеется 6 учеников по т. вероятностей, 3 из которых в жестком переплете. Библиотекарь взял наугад 2 учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в жестком переплете.

Ответ: 0,2

Примечание: Отличай:

1. взято сразу две детали или взято последовательно !!!

2. хотя бы 1 попадание или ровно 1 попадание !!!

Формула полной вероятности.

Постановка задачи :предположим, что событие А может наступить только с одним из попарно – независимых событий: Н₁; Н₂;…; Н_n. - называемых гипотезами. Тогда р события А вычисляется по формуле полной вероятности:

р(А) = р(Н₁) · р(А/Н₁) + р(Н₂) · р(А/Н₂) + …+ р(Н_n) · р(А/Н_n), где

р(Н₁);...р(Н_n) – вероятность гипотез

р(А/Н₁);…р(А/Н_n) – условные вероятности события А в каждой гипотезе

Пример №35

Имеется 3 урны с шарами.

1 – ая урна – 4 белых + 5 черных

2 - ая урна – 5 белых – 4 черных

3 – тья урна - 6 белых

Выбирается наугад одна из урн и вынимается 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

Решение: Н₁ – 1-я урна

Н₂ - 2-я урна

Н₃ – 3-я урна

т.к. урна выбрана наугад, то вероятности урн одинаковы и =¹/₃

Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = ¹/₃

Р(^А/_Н1) = ⁴/₉; Р(^А/_Н2) = ⁵/₉; Р(^А/_Н3) = 1

Р(А) = ¹/₃· ⁴/₉+¹/₃·⁵/₉+¹/₃·1 = ²/₃ = 0,667

Ответ: 0,667

Пример №36

В группе спортсменов 30 лыжников, 10 велосипедистов и 5 бегунов. Вероятность выполнить квалификационую норму для лыжника - 0,8; для велосипедиста - 0,7; для бегуна - 0,9. Найти вероятностьтого, что спортсмен, вызваный по списку, выполнит норму.

Указание:

гипотизы - вид спорта;

условные вероятности - даны.

Ответ: 0,789

Пример 37.

На складе телеателье имеется 60 кинескопов, из них:

• выпущено на 1-ом заводе - 15 шт.;

• выпущено на 2-ом заводе - 20 шт.;

• выпущено на 3-ем заводе - 25 шт..

Вероятности выпуска кинескопов высшего сорта: на 1-ом заводе - ²/_3; на 2-ом заводе - ³/₄; на 3-ем заводе - ⁴/₅. Определить вероятность того, что взятый на складе наудачу кинескоп окажется высшего сорта.

Указание:

гипотизы - заводы;

условные вероятности - даны.

Ответ: 0,75

Пример 38.

Имеется 2 набора деталей. Вероятномть того, что деталь 1-ого набора стандартна - 0,6; 2-ого набора - 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачудеталь из наудачу выбраного набора кокажется стандарной.

Ответ: 0,7