1.Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.

Опр F(x) – первообр для f(x) на некот промежутке, если на этом промеж F(x) – дифф и F’(x)=f(x)

Св-ва первообр:

1)Если F(x) – первообр для f, то F(x)+C – также первообр

2)Если F(x) – первообр для f, x€X, то любая др первообр для f на том же промеж будет F(x)+C

3)Разность между V 2мя первообр для f(x) на промеж = С

Опр Неопр инт-л от f на некот промеж наз-ся мн-во всех первообр для f на этом промеж, и обозн , где F(x) – любая первообр для f, C=const

Св-ва неопр инт-ла:

1. 

2. 

3. 

2.Таблица основных интегралов

1)∫A(x)dx=Ax+C; 2)∫x^αdx=((x^α+1)/(α+1))+C; 3)∫dx/x=ln|x|+C; 4)∫a^xdx=a^x/lna; 5)∫sinxdx=-cosx+C; 6)∫cosxdx=sinx+C; 7)∫dx/cos²x=tgx+C; 8)∫dx/sin²x=-ctgx+C; 9)∫shxdx=chx+C; 10)∫chxdx=shxdx+C; 11)∫dx/ch²x=thx+C; 12) ∫dx/sh²x=-cthx+C; 13)∫dx/(x²+1)=arctgx+C; 14)∫dx/(x²-a²)=(1/2a)*ln|(x-a)/(x+a)|;

3. Методы разложения и внесения под знак дифференциала.

Метод разложения

Интеграл от лин комбин конечного числа инт ф-ий равен той же комбинации инт-лов от инт ф-ий

Const множитель можно выносить за знак диф-ла

Метов внесения под знак диф-ла

4.Замена переменной в неопределённом интеграле.

Т. Пусть x€[a;b] и отобр – диф-ема и биективна. Тогда , где

5.Метод интегрирования по частям.

6.Разложение рациональной функции на простые дроби.

Первообразная любой рац ф-ии выражается через рац ф-ии, а также ln и arctg. Рац часть первообразной, будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве такового иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладывается многочлен Q(x), только с кратностями, на единицу меньшими, чем кратность их вхождения в разложение Q(x).

7.Интегрирование рациональных функций.

, где

Первообразная любой рациональой функции выражается через рациональные функции, а также трнсцендентные функции и .

8.Метод Остроградского

метод выделения рациональной части неопределенного интеграла от рациональной дроби, знаменатель которой — многочлен степени n с кратными корнями, а числитель — многочлен степени m   n-1. Согласно этому методу, , где многочлены Q₁, Q₂, P₁, P₂ имеют степени соответственно n₁, n₂, m₁, m₂, такие что n₁ + n₂ = n, m₁   n₁ — 1, m₂   n₂ — 1 и многочлен Q₂(x) не имеет кратных корней. Таким образом, Q₁(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q(x) и  , следовательно, его можно найти, используя алгоритм Евклида. Из этого равенства, дифференцируя, получаем тождество, которое позволяет найти явное выражение многочленов P₁(x) и P₂(x).

9.Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

a) :

б) или где – рациональная функция:

в) или

или : и

10.Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Если , то , , y=t.

11.Подстановки Эйлера

1. a>0:

2. c>0:

3. a<0, c<0, D>0, x1<x<x2:

12.Выделение алгебраической части интеграла

Ф-ия наз алгебраической, если в D(f) она обладает тождеству вида:p_k(x)[f(x)]^k+ p_k-1(x)[f(x)]^k-1+…+ p₁(x)f(x)+ p₀(x)=0, где n>=1, nєZ, p_k, p_k-1,…,p₀,-некоторые многочлены, P_k(x)≠0.

Подинтегральную ф-ию алгебр преобраз всегда можно представить в виде суммы:R₁(x)/ +R₂(x), где R₁(x), R₂(x) –рац ф-ии.∫ R(x, ) можно привести к инт-лу вида: ∫R₁(x)/ dx. Разложив рац R₁(x) на сумму многочленов p_r(x) элем-ных дробей приходим к инт-лам след 3х видов:а)∫P_r(x)/ dx; б)∫1/((x-α)^k )dx, kєN; в)(Mx+N)/((x²+px+q)^m )dx, mєN.