20. Как выглядят одноэлектронные волновые функции в идеальном кристалле (функции Блоха)?

http://nuclphys.sinp.msu.ru/solidst/physmet2.htm

21. Что такое квазиимпульс электрона в кристалле?

Особенности движения электронов в кристалле обусловлены их взаимодействием с кристаллической решеткой. Оказывается, что движение отдельного электрона в кристалле можно описывать тем же уравнением, что и для свободной частицы, т.е. в виде второго закона Ньютона, в котором учитываются только внешние по отношению к кристаллу силы.

Рассмотрим движение электрона в кристалле под действием внешнего электрического поля. Внешнее электрическое поле приводит к увеличению скорости электрона и, следовательно, его энергии. Поскольку электрон в кристалле - это микрочастица, описываемая волновой функцией, то энергия электрона зависит от его волнового вектора. Зависимость между этими двумя характеристиками электрона в кристалле определяется дисперсионным соотношением, которое в свою очередь зависит от строения энергетических зон. Поэтому при расчете движения электрона в кристалле необходимо исходить из закона дисперсии.

Свободный электрон описывается монохроматической волной де Бройля и электрон в этом состоянии нигде не локализован. В кристалле же электрону необходимо сопоставить группу волн де Бройля с различными значениями частот w и волновых векторов k. Центр такой группы волн перемещается в пространстве с групповой скоростью

Эта групповая скорость соответствует скорости перемещения электрона в кристалле.

Задачу о движении электрона будем решать для одномерного случая. Увеличение энергии электрона dE под действием внешней силы F равно элементарной работе dA, которую совершает внешняя сила за бесконечно малый промежуток времени dt:

Учитывая, что для электрона как микрочастицы , имеем следующее выражение для групповой скорости

Подставляя полученное выражение для групповой скорости в формулу (2.16), получим

Отсюда

Распространяя этот результат на трехмерный случай, получим векторное равенство

Как видно из этого равенства, величина ћkдля электрона в кристалле изменяется со временем под действием внешней силы точно так же, как импульс частицы в классической механике Несмотря на это, ћkнельзя отождествить с импульсом электрона в кристалле, поскольку компоненты вектора k определены с точностью до постоянных слагаемых вида (здесь a - параметр кристаллической решетки, ni=1, 2, 3, ...). Однако в пределах первой зоны Бриллюэна ћkобладает всемисвойствами импульса. По этой причине величину ћk называют квазиимпульсом электрона в кристалле.

22. Как зависимость энергия электронов в кристалле от квазиимпульса (дисперсионная кривая)?

Закон дисперсии для электрона в кристалле

См . в инете

23. Что такое зоны Бриллюэна? Где они находятся? Как связаны с «длинами волн» одноэлектронных волновых функций?

многогранники, построенные по определенным правилам в обратной решётке кристалла. Первая зона Бриллюэна содержит все физически неэквивалентные наименьшие разрешённые квазиимпульсы, характеризующие состояние электронов. Форма зон Бриллюэна определяется симметрией кристалла. Понятие зоны Бриллюэна используется в теории твёрдого тела.