4.3. Вычисление интеграла по формуле парабол (методом Симпсона)
[с]- постоянная времени система.
n- число делений [0; ]- четное
- шаг интегрирования
формула парабол.
Оценка
абсолютной погрешности:
Если
требуется
,
то
Для
оценки погрешности используем примерное
правило Рунге( считая, что
сложен):
если
,
то
Результаты расчетов сведем в таблицу:
n |
|
|
2 |
118.957 |
- |
4 |
119.446 |
0.489 |
5. Приближенное решение задачи Коши (для нелинейной модели с сосредоточенными параметрами)
где
,
Переход к безразмерным переменным:
где
5.1. Решение задачи Коши методом Эйлера
,
где
,
Требуется
получить таблицу приближенных значений
функции
на [0,3] с шагом h=0.2
( n=15)
и с шагом h=0.1
( n=30)
и оценить погрешность.
Расчетные формулы для метода Эйлера:
Оценка погрешности метода Эйлера:
точное значение
в точке
приближенное
значение
в точке
при шаге интегрирования
приближенное
значение
в точке
при шаге интегрирования
.
i |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0.2 |
0 |
4.69*10-3 |
0.00469 |
2 |
0.4 |
0.039 |
0.065 |
0.026 |
3 |
0.6 |
0.189 |
0.024 |
0.165 |
4 |
0.8 |
0.351 |
0.372 |
0.021 |
5 |
1 |
0.482 |
0.492 |
0.01 |
6 |
1.2 |
0.586 |
0.589 |
0.003 |
7 |
1.4 |
0.67 |
0.669 |
0.00 |
8 |
1.6 |
0.738 |
0.733 |
0.005 |
9 |
1.8 |
0.791 |
0.785 |
0.006 |
10 |
2 |
0.834 |
0.827 |
0.007 |
11 |
2.2 |
0.869 |
0.861 |
0.008 |
12 |
2.4 |
0.869 |
0.888 |
0.019 |
13 |
2.6 |
0.918 |
0.91 |
0.008 |
14 |
2.8 |
0.935 |
0.928 |
0.007 |
15 |
3 |
0.948 |
0.942 |
0.006 |
b1=5.612*10-3; b2=0.035; P=0.493; x0=0.447
5.2. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутта
Расчетные формулы для метода Рунге-Кутта:
h- шаг интегрирования
Оценка погрешности метода Рунге-Кутта:
точное значение в точке
приближенное значение в точнее при шаге интегрирования h.
приближенное значение в точнее при шаге интегрирования .
Результаты расчетов сведем в таблицу:
i |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0.2 |
0.01208 |
0.1209 |
0.10882 |
2 |
0.4 |
0.09429 |
0.09426 |
0.00003 |
3 |
0.6 |
0.25292 |
0.25576 |
0.00284 |
4 |
0.8 |
0.38883 |
0.39117 |
0.00234 |
5 |
1 |
0.50042 |
0.50234 |
0.00192 |
6 |
1.2 |
0.59201 |
0.59358 |
0.00157 |
7 |
1.4 |
0.66712 |
0.66842 |
0.0013 |
8 |
1.6 |
0.72867 |
0.72973 |
0.00106 |
9 |
1.8 |
0.77903 |
0.7799 |
0.00087 |
10 |
2 |
0.8202 |
0.8209 |
0.0007 |
11 |
2.2 |
0.8538 |
0.85438 |
0.00058 |
12 |
2.4 |
0.8812 |
0.88167 |
0.00047 |
13 |
2.6 |
0.90352 |
0.90391 |
0.00039 |
14 |
2.8 |
0.92168 |
0.922 |
0.00032 |
15 |
3 |
0.93645 |
0.93671 |
0.00026 |
Для шага h=0,1 ( n=30) возвращение к размерным переменным:
, [c]
Для линейной модели с сосредоточенными параметрами
Требуется сравнить температуру пластины, рассчитанную для нелинейной модели и температуру для линейной модели.
Результаты расчетов сведем в таблицу:
i |
L(t) |
|
|
|
0 |
- |
0 |
33 |
26.195 |
1 |
- |
0.45599 |
33.10962 |
16.86496 |
2 |
- |
0.91199 |
33.88242 |
9.09641 |
3 |
- |
1.36798 |
35.94308 |
3.42855 |
4 |
- |
1.82398 |
39.88124 |
0.37364 |
5 |
45.83519 |
2.27997 |
45.9464 |
0.11121 |
6 |
51.56063 |
2.73596 |
51.67077 |
0.11014 |
7 |
56.74122 |
3.19196 |
56.8567 |
0.11548 |
8 |
61.42881 |
3.64795 |
61.55552 |
0.1267 |
9 |
65.67032 |
4.10395 |
65.81314 |
0.14282 |
10 |
69.5082 |
4.55994 |
69.67084 |
0.16264 |
11 |
72.98085 |
5.01593 |
73.16579 |
0.18494 |
12 |
76.12304 |
5.47193 |
76.33158 |
0.20854 |
13 |
78.96621 |
5.92792 |
79.19859 |
0.23238 |
14 |
81.53881 |
6.38392 |
81.79438 |
0.25556 |
15 |
83.8666 |
6.83991 |
84.14395 |
0.27735 |
16 |
85.97287 |
7.2959 |
86.27004 |
0.29716 |
17 |
87.87871 |
7.7519 |
88.19332 |
0.31461 |
18 |
89.60318 |
8.20789 |
89.93258 |
0.32941 |
19 |
91.16354 |
8.66389 |
91.50496 |
0.34142 |
20 |
92.57542 |
9.11988 |
92.92602 |
0.3506 |
21 |
93.85293 |
9.57587 |
94.20994 |
0.35701 |
22 |
95.00888 |
10.03187 |
95.36962 |
0.36074 |
23 |
96.05482 |
10.48786 |
96.41679 |
0.36196 |
24 |
97.00123 |
10.94386 |
97.3621 |
0.36087 |
25 |
97.85758 |
11.39985 |
98.21526 |
0.35769 |
26 |
98.63243 |
11.85584 |
98.98507 |
0.35264 |
27 |
99.33355 |
12.31184 |
99.67951 |
0.34596 |
28 |
99.96795 |
12.76783 |
100.30583 |
0.33788 |
29 |
100.54197 |
13.22383 |
100.8706 |
0.32863 |
30 |
101.06137 |
13.67982 |
101.37979 |
0.31842 |
По данным в последней таблице, построим график зависимости температур от времени для двух моделей, нелинейной и линейной.
Г
рафик
зависимости температуры от времени
для нелинейной модели.
Г
2,03915
рафик зависимости температуры от времени для линейной модели при t0=2.03915.