Санкт-петербургский государственный Технологический институт (Технический университет)
Кафедра прикладной математики Факультет 4
Курс 2
Группа 4806
Учебная дисциплина: Вычислительная математика
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛА В ПЛАСТИНЕ.
Вариант №11
Студент: Евтушенко Олег Викторович
Научный руководитель: Долгополов Дмитрий Владимирович
Оценка за курсовую работу: __________________________
Дата защиты: _______________________________________
Санкт-Петербург
2012
Содержание Введение
В решении любой (достаточно сложной) физической, химической, инженерной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели, выбор способа (алгоритма) решения полученной математической задачи и, наконец, численная реализация выбранного алгоритма (обычно с помощью ЭВМ). Три соответствующих элемента: математической модели, вычислительные алгоритмы, вопросы применения ЭВМ и являются предметом современной прикладной математики.
Все перечисленные этапы тесно связаны между собой. Так выбор вычислительного алгоритма определяется, с одной стороны, рассматриваемой математической моделью, а с другой – возможностями имеющихся в нашем распоряжении вычислительных средств (их объемом памяти, быстродействием). В частности требуют разного объема вычислений, не всегда одинаково легко получить оценку их погрешности и т. д.
При построении самой математической модели приходиться иметь в виду, что часть параметров обычно находят при помощи эксперимента. Стремление уменьшить объем экспериментальных исследований приводит, как правило, к усложнению математической модели, а следовательно, к более сложным алгоритмам.
Структура модели зависит и от того, насколько полно учтены про ее составлении те закономерности, которым подчиняется рассматриваемый объект.
Таким образом, одна и та же практическая задача может быть решена с помощью различных разделов математики, а также различными методами в рамках одного и того же раздела математики.
В курсовой работе нам предлагается конкретная практическая задача, решение которой требует размышлений по всем указанным выше вопросам, вынесения собственных суждений о том, какие разделы математики выступают здесь в качестве альтернативных, как соотносятся по простоте и точности различные конкретные методы, используемые на отдельных этапах.
Цель данной работы – научить осознанно с точки зрения практического применения осваивать основные разделы курса, привить практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающиеся на широкое использование методов прикладной математики.
1. И сходные физические, математические модели. Постановка задачи.
На практике часто встречается задача исследования температурного поля внутри тел различной формы. Пусть однородная пластина толщины D, имеющая в начальный момент времени t=0 температуру U0, помещена в среду (жидкость или газ) с температурой θ, изменяющийся во времени по заданному закону θ=θ(t). Считая толщину пластины малой по сравнению с остальными размерами, можно рассматривать температуру её внутренних точек как функцию U(x, t), где
X Є [-D/2; D/2] – абсцисса данной точки пластины.
t Є [0; +∞]
Очевидно, что в силу симметрии задачи, функцию достаточно рассматривать при
X Є [0; D/2].
Будем считать, что температура среды возрастает по известному закону до некоторой заданной величины, после чего автоматически поддерживается постоянной, то есть закон изменения температуры окружающей среды:
