1.1 Нелинейная модель с распределенными параметрами (основная модель)

а) (1)

Начальные условия: U(t₀)=U₀ (2)

Граничные условия: (3)

где a – коэффициент температуропроводности

λ – коэффициент теплопроводности

α – коэффициент конвективного теплообмена между пластиной и окружающей средой

будем считать, что

a=const

λ=const

f1(y), f2(y) – известные функции

Начально-краевая задача (1), (2), (3).

a₀, a₁, a₂ – неизвестные коэффициенты, которые будем находить на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. б) t₀ – находим как корень уравнения , где

.

Уравнение решаем численными методами половинного деления, комбинированием и итерацией.

1.2 Нелинейная модель с сосредоточенными параметрами

В виду того, что пластина является тонкой можно считать, её температура не зависит от U равной средней по толщине температуры пластины:

Если провести это уравнение в уравнение теплопроводности, то получим дифференциальное уравнение первого порядка:

– начальное условие

Эту нелинейную задачу Коши будем решать методами Эйлера и Рунге-Кутта.

1.3 Линейная модель с сосредоточенными параметрами

Будем считать, что коэффициент конвективного теплообмена не зависит от температуры пластины, то есть:

α=a₀=const

Тогда нелинейная задача Коши сводится к линейной:

где – постоянная времени системы

Решение этой задачи имеет вид:

Из этой зависимости при t≥t₀ имеем:

Обозначим:

(4)

Тогда при t≥t₀

Интеграл (4) находим численно методами прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона).

Необходимо сравнить решение нелинейной задачи Коши и линейной задачи и сделать вывод о допустимости предположения α=a₀=const.

1.4 Исходные данные

- коэффициент температуропроводности материала пластины.

- коэффициент теплопроводности материала пластины.

- толщина пластины.

- температура пластины в начальный момент времени.

- температура среды.

	33.0	40.3	47.6	54.9	62.2	69.5	76.8	84.1	91.4	98.7	106.0
	3968	3987	3981	3995	4005	4034	4043	4058	4100	4121	4213

α – коэффициент конвективного теплообмена между пластиной и средой.

2. Обработка экспериментальных данных. Построение оценочной функции регрессии α по u

Поскольку функция регрессии имеет вид:

где f₁, f₂ – известные функции

В соответствии с методом наименьших квадратов оценка коэффициентов a₀, a₁, a₂ ищутся из нормальной системы уравнений на основании экспериментальных данных , которая может быть решена любым из известных способов.

Коэффициенты a₀, a₁, a2 подбираем так, чтобы сумма:

имела наименьшее значение.

Необходимым и достаточным условием в данном случае является:

=>

Решать систему целесообразно, используя обратную матрицу. Представим нормальную систему в матричной форме P*a=V, где

Тогда решение системы запишется в следующем виде:

где - матрица, обратная матрице Р.

Используя формулы, получим:

Таким образом, оценка зависимости коэффициента конвективного теплообмена от температуры будет иметь следующий вид:

		данные	расчетные
33.0	0	3968	3.981*103
40.3	0.1	3987	3.982*103
47.6	0.2	3981	3.985*103
54.9	0.3	3995	3.992*103
62.2	0.4	4005	4.002*103
69.5	0.5	4034	4.018*103
76.8	0.6	4043	4.039*103
84.1	0.7	4058	4.066*103
91.4	0.8	4100	4.101*103
98.1	0.9	4121	4.144*103
106.0	1	4213	4.196*103