13. Определение линейного пространства. Примеры. Свойства линейного пространства.
Пусть дано множество V такое что:
1. x,y є V поставим в соответствие (x+y)єV
2. xєV αєP поставим в соответствие α*xєV
Множество V называется линейным пространством если в нѐм определены операции сложения элементов и умножения элементов на число и при этом для любых элементов из этого множества x,y,zєV α,P выполняются аксиомы линейного пространства:
1. x+y=y+x
2. x+(y+z)=(x+y)+z
3. существует нулевой элемент Ѳ такой что x+Ѳ=x
4. для любого xєV существует -x такой что x+(-x)=Ѳ
5. 1*x=x
6. α*(β*x)=(α*β)*x
7. (α+β)*x=α*x+β*x
8. α(x+y)=α*x+α*y
Пусть множество V- упорядоченый набор чисел
x=(x1,x2,…,xn) – n-мерный вектор
y=(y1,y2,…,yn)єV
x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)
Ѳ=(0,0,…,0) x+Ѳ=(x1+0,x2+0,…,xn+0)=x
-x=(-x1,x2,…-xn) x+(-x)=(x1-x1,x2-x2,…,xn-xn)= Ѳ
α*x=(α*x1,α*x2,…,α*xn)
Арифметическое линейное пространство – пространство n-мерных векторов сведѐнных аксиомами линейного пространства
Пример:
V: x=(x1,x2,…,xn)
α*x=(α*x1,x2,…,xn)
(α+β)*x=((α+β)*x1,x2,…,xn)
Α*x+β*x=(α*x1,x2,…,xn)+(β*x1,x2,…,xn)=(α*x1+β*x1,2*x2,…,2*xn)
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
В каждом линейном пространстве вектор Ѳ только один
Предположим что в пространстве V Ѳ1,Ѳ2-нулевые вектора
Ѳ2-нулевой вектор Ѳ1+Ѳ2=Ѳ1
Ѳ1-нулевой вектор Ѳ2+Ѳ1= Ѳ2
Ѳ1+Ѳ2 тогда нулевой вектор один
Ѳ1+Ѳ2= Ѳ2+Ѳ1
В линейном пространстве для каждого вектора существует только один противоположный вектор xєV y,z-противоположный вектор для x
x+y=Ѳ
x+y+z=(x+y)+z=z y=z значит есть только один x+y+z=y+(x+z)=y противоположный элемент
14. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Размерность и базис линейного пространства.
a1,a2,…,am
α1*a1+α2*a2+…+αm*am=0 – линейная комбинация векторов обозначим через (1)
Вектора а1,а2,…,аm называется линейно зависимыми если существуют числа α1,α2,…,αm Одновременно не равные 0 такие что линейная комбинация равна 0.
Если условие (1) выполняются тогда когда все αi=0 тогда a1,a2,…,am называется линейно независимыми если вектор b=α1*a1+α2*a2+…+αm*am=Σ b – линейная комбинация векторов или линейно выражается через вектор а
Теорема: Для того чтоб а1,а2,…,аm были линейно зависимы необходимо и достаточно чтоб хотя б один из этих векторов являлся линейной комбинацией остальных.
Доказательство:
a1,a2,…,am – линейно зависимы это значит
α1*a1+α2*a2+…+αm*am=0 тоесть существует хотя б одно α не равное 0 αi!=0
Свойства
1. Если в системe s линейно зависимых векторов линейного пространства добавить любые r то полученая система s+r – веторов будет линейно зависимая.
α1*а1+α2*а2+…αs*as=0
α1*a1+α2*a2+…+αs*as+0*a(s+r)+…+0*a(s+r)=0
2. Любая подсистема системы линейно независиимых векторов также линейно независима.
Размерность и базис линейного пространства
Пусть в линейном пространстве V выполняются следуйщие условия:
1. Существует система из n независемых векторов
2. Любые n+1 вектора являются линейно зависимыми. n – размерность векторного пространства а само векторное пространство n-мерное
Базисом n-мерного пространства V называется любая упорядоченая ситема n-линейно независимых векторов того пространства.
Теорема Если e1,e2,…,en – базис n-мерного линейного пространства V то любой вектор х можно представить единственным способом линейной комбинации базисных векторов.
x=x1*e1+x2*e2+…+xn*en
Доказатльство:
e1,e2,…,en – базис
e1,e2,…en – линейно зависимы
α1*e1+α2*e2+…+αn*en+αx=0
α!=0(если α=0 то α1*e1+…+αn*en=0)
x=
xn=-αk/α
x
– линейная комбинация
x=x1*e1+x2*e2+…+xn*en
x=x`1*e1+x`2*e2+…+x`n*en
0=(x1-x`1)*e1+(x2-x`2)*e2+…+(xn-x`n)*en x1=x`1 x2=x`2……..xn=x`n
Пусть V n-мерное арифметическое пространство
e1=(1,0,0,…,0)
e2=(0,1,0,…,0)
en=(0,0,0,…,1)
k1*e1+k2*e2+…+kn*en=0
(k1,0,…,0)+(0,k2,0,…,0)+…+(0,0,…,kn)=0
(k1,k2,…kn)= Ѳ k1=k2=…=kn=0
x=(x1,x2,…xn)=x1*e1+x2*e2+…+xn*en
Пространство конечно мерное если в нѐм имеется базис состоящий из конечног очисла векторов.
Пространство называется бесконечным если в нѐм можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов.