15. Линейные преобразования линейных пространств. Примеры.

Пусть дано n–мерное действительное линейное пространство Vn, Рассмотрим преобразование этого пространства, т.е. отображение приводящие каждый вектор a ∈ Vn в некоторый вектор a’ ∈ Vn, вектор a’ называется образом вектора а.

Преобразование обозначим φ, a’ = аφ. Преобразование φ называется линейным, если выполнены следующие условия:

(a + b)φ = aφ + bφ

(αa)φ = α(a)φ

Из определения вытекает, что линейное преобразование линейного пространства переводит любую линейную комбинацию данных векторов в линейную комбинацию образов этих векторов (с теми же коэффициентами):

(α1a1 + α2a2 +…+ αnan)φ = α1(a1φ) + α2(a2φ) +…+ αn(anφ) Пример:

Преобразование аφ = а приводящие вектор в себя (докажем его линейность)

а(1;2;3), b(-3;0;1)

(a + b) φ = (-2; 2; 4)

(a + b)φ = aφ + bφ = a + b = (-2; 2; 4)

(2*a)φ = (2;4;6)φ = (2; 4; 6)

2*(aφ) = 2*a = (2;4;6)

11. Система Штурма: определение и построение для заданного многочлена. Теорема Штурма. Локализация корней методом Штурма.

Конечная упорядоченная система отличных от 0 многочленов с действительными коэффициентами называется системой Штурма для многочлена f(x). Если выполняется:

- соседние многочлены системы f(x )=f0(x ),f1(x )…,fs(x ) не имеют общих корней

- последний многочлен fs(x ) не имеет действительных корней.

- если действительное число с-корень промежуточного многочлена , то числа (с) и (с) имеют противоположные знаки.

- если с-корень многочлена f(x ), то произведение f0(c)*f1(c) меняет знак с – на + при переходе х через т. С слева направо.

Теорема: Для любого многочлена с действительными коэффициентами , не имеющего кратных корней, существует система Штурма.

…….

…….

Поскольку не имеет действительных корней, то

Пусть имеют общие корни и т.д. Тогда , а такого быть не может.

пусть с - не корень f(x ), рассмотрим систему чисел f0(с),f1(с)…,fs(с). W(c)-количество перемен знаков в системе Штурма многочлена f(x ), х =с

Теорема Штурма

Если действительные числа a и b (a<b) не корни многочлена f(x ), то W(a)≥W(b), W(a)- W(b)=количеству действительных корней многочлена f(x ) между a и b (a-нижняя грань, b- верх няя грань. Если интересует количество, то a=-∞, b=+∞, положительные (0,∞), отрицательные(-∞,0). Число W(x ) меняется(при возрастании х ) лишь при перех оде х через корень многочлена f(x ) в этом случае оно уменьшается на 1. Для определения корней многочлена f(x ) на промежутке между a и b нужно лишь определить насколько уменьшается число перемен знаков в системе Штурма этого многочлена при перех оде от a к b.

12. Приближенные методы вычисления корней многочленов. Метод половинного деления и метод Ньютона.

Х=с - простой корень Є(a,b) многочлена f(x ). f(a)*f(b)<0

Метод половинного деления

Рассмотрим интервал (a,t), принимающих на концах различные знаки

ε-точность

| | < ε

Метод Ньютона (метод касательных) - замена линии еѐ касательной.

f(c)=0; f’(c)≠0;f’’(c)≠0

f’(x )<0

a0: f(x )*f’’(x )>0

(a0,f(a0))

y-f(a0)=f’(a0)(x -a0)

(d,0)

0-f(a0)=f’(a0)(d -a0)

d=a0

До тех пор, пока | |<ε, то - корень.