29. Теорема о приведении симметричной матрицы к диагональному виду. Приведение квадратичной формы к главным осям.

Теорема: Для всякой симметричной матрицы А можно найти такую ортогональную матрицу Q, которая приводит матрицу А к диагональному виду.

Доказательство: Пусть дана симметрическая матрица А размера n. Если ортонормированный базис e1,e2…, en заданный в Еn, то матрица А задает в этой базе симметрическое преобразование φ.

e’₁,e’₂,…,e’_n –ортонормированный базис из преобразования .

B=Q^-1AQ -диагональ

Q:e->e’ => Q –ортонормированный

Q^-1 = Q^T => B = Q^TAQ

Приведение действительной квадратичной формы к главным осям.

Линейное преобразование неизвестных с ортогональной матрицей является ортогональным преобразованием и диагональная матрица имеет квадратичную форму приведенная к каноническому виду, имеет место теорема. Всякая действительная квадратичная форма f(x₁,x_2,…,x_n) некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

31.Упрощение уравнений линий второго порядка на плоскости.

Рассмотрим уравнение второго порядка (1) ах² + bху + су² + dх + gу + f = 0 где а² + b² + c²=0. Множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению (1), образует некоторую фигуру. Найдем уравнение фигуры в системе координат (О;е'₁;e'₂), где векторы е’₁ и е'₂ получены из векторов е₁ и е₂ ортогональным преобразованием с матрицей T={{t₁₁,t₁₂},{t₂₁,t₂₂}}, т. е. Система

{е'₁=t₁₁е₁ + t₁₂e₂;

е'₂ = t₂₁е₁+ t₂₂e₂}

При этом формулы преобразования координат точек будут иметь вид Система

{х = t₁₁х' + t₁₂у';

у = t₂₁х' +t₂₂у}

Подставив эти значения х и у в уравнение , получим уравнение данной фигуры в системе координат

(О;е'₁;e'₂) Сумма первых трѐх членов - ах²+bху+су² является квадратичной формой двух переменных х, у, которую мы будем называть квадратичной формой, соответствующей данному уравнению. Матрица этой формы имеет вид A={{a, b\2},{b\2, c}}

Пусть выбранное преобразование приводит квадратичную форму к каноническому виду λ₁x’²=λ₂y’² где λ₁ и λ₂— корни характеристического уравнения матрицы А. Тогда исходное уравнение примет вид: λ₁x’²+λ₂y’² + d₁x’+g₁y’ +f=0 где d₁ = t₁₁d+t₂₁g, g_i=t₁₂d+t₂₂g.

Если detA > 0, то уравнение (1) определяет фигуру эллиптического типа;

если detA < 0 — гиперболического;

если detA = 0 — параболического;

Если фигура является эллипсом или гиперболой, то новые оси координат параллельны осям симметрии кривой.

Уравнение в случае detA ≠ 0 определяет фигуру, называемую центральной. Если detA=0, то фигура называется нецентральной.

К центральным относятся фигуры эллиптического и гиперболического типов, к нецентральным — параболического типа.

30. Практический поиск ортогонального преобразования, который приводит квадратичную форму к главным осям.

Для поиска ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму к главным осям нужно лишь научиться находить ортогональную матрицу Q, приводящую данную симметрическую матрицу A к диагональному виду, или, находить ее обратную матрицу Q^-1. Ввиду e=Qf ,где Q — матрица перехода от базиса f к базису е ,это будет матрица перехода от базиса е к базису f, т. е. ее строки являются координатными строками ортонормированной системы из n собственных векторов симметрического преобразования φ определяемого матрицей А в базисе е. Как известно, совокупность координатных строк всех собственных векторов преобразования φ относящихся к собственному значению λ₀, совпадает с совокупностью ненулевых решений системы линейных однородных уравнений (А — λ₀Е)Х=0 симметричность матрицы А позволяет написать здесь А вместо А' .

Для системы (А — λ0Е)Х=0 во всяком случае можно найти К₀ линейно независимых решений. Ищем систему решений, а затем ортогонализируем и нормируем полученную систему.

Беря в качестве Х поочередно все различные характеристические корни симметрической матрицы А и учитывая, что сумма кратностей этих корней равна n, мы получим систему из n собственных векторов преобразования φ, заданных их координатами в базисе е. Для доказательства того, что это будет искомая ортонормированная система собственных векторов, остается доказать следующую лемму: Собственные векторы симметрического преобразования φ, относящиеся к различным собственным значениям, между собой ортогональны.

Пусть, в самом деле, bφ=λ₁b, сφ = λ₂с, причѐм λ₁≠λ₂ Т.к. (bφ,c) = (λ₁b,c) = _λ1(b,c), (b,cφ) = (b,λ₂c) = λ₂(b,c), то из (bφ, с) = (b, cφ) следует λ₁(b,c) = λ₂(b,c) или, ввиду λ₁≠λ₂, (b, с) =0, что и требовалось доказать.